Мартингальные свойства площади выпуклой оболочки

МАРТИНГАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПЛОЩАДИ ВЫПУКЛОЙ ОБОЛОЧКИ
Абсаттарова Х.А.
Пусть

Введем следующую меру

где – медленно меняющаяся функция в смысле Карамата, представимая в виде

и наименьший корень уравнения
.
Пусть – неоднородный пуассоновский точечный процесс (н.п.т.п.) с интенсивностью , и пусть реализации н.п.т.п. в . Обозначим через выпуклые оболочки, порожденные этими случайными точками.
Вершинным процессом для любого назовем такую точку реализации н.п.т.п. , для которой принимает минимальное значение.
Обозначим через число скачков скачкообразного процесса в пределах , а через – длины ломаной, соединяющей последовательность состояний процесса .
Далее, пусть – времена скачков процесса , а – площадь области, ограниченной линиями , – площадь области, ограниченной линиями для всех , – площадь области, ограниченной линиями . Тогда если считать , то из свойства независимых приращений пуассоновского точечного процесса следует, что ведет себя как сумма случайного числа независимых случайных величин.
Следуя работы [1-3], в настоящей работе, мы продолжим исследования свойства вершинного процесса, выпуклой оболочки рассмотрены в [4], порожденной неоднородным пуассоновским точечным процессом внутри параболы . Так же и в [4], введем мера интенсивности пуассоновского закона связана с правильно меняющимися функциями вблизи границы носителя.


где
Доказана следующая теорема.
Теорема. Процессы

и

образует мартингал относительно –алгебры
Здесь
,
.


Литература

1. 
   Groeneboom P., Limit theorems for convex hulle//Probab. Th. Rel. Fields, 1988, v.79, N3, pp.327-368.
   
2. 
   Hueter I., The convex hull of a normal sample//Adv. Appl. Prob. 1994, 26, pp.855-875.
   
3. 
   Formanov Sh.K., Khamdamov I.M., On some properties of vertex processes of random convex hulls, Cite as: AIP Conference Proceedings 2365, 060012 (2021); https://doi.org/10.1063/5.0057259, Published Online: 16 July 2021. 7P.
   
4. 
   Абсаттарова Х.А. «Мартингальные свойства функционалов вершинного процесса выпуклой оболочки», Андижанский Государственный Университет, 2022, 1-2.