§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха
Download 48.05 Kb.
|
Лекция№20
§ 2. Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха Выпуклые множества и выпуклые тела. В основе многих важных разделов теории линейных пространств лежит понятие выпуклости. Оно опирается на наглядные геометрические представления, но вместе с тем допускает и чисто аналитическую формулировку. Пусть некоторое линейное действительное пространство и — две его точки. Назовем замкнутым отрезком в , соединяющим точки и , совокупность всех элементов вида , где . Отрезок без концевых точек и называется открытым отрезком. Множество называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками и содержит и соединяющий их отрезок. Назовем ядром произвольного множества совокупность таких его точек , что для каждого найдется такое число , что при . Выпуклое множество, ядро которого не пусто, называется выпуклым телом. Примеры. 1. В трехмерном евклидовом пространстве куб, шар, тетраэдр, полупространство представляют собой выпуклые тела. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела. 2. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций на отрезке множество функций, удовлетворяющих условию . Это множество выпукло; действительно, если и , то при Упражнение. Проверить, является ли это множество выпуклым телом. 3. Единичный шар , т. е. совокупность таких точек что есть выпуклое тело. Его ядро состоит из точек , удовлетворяющих условию 4. Основной параллелепипед в — выпуклое множество, но не выпуклое тело. В самом деле, пусть ; это означает, что для всех . Положим . Пусть , т. е. ; тогда откуда , т. е. ядро множества пусто. Упражнения. 1. Пусть совокупность точек из , удовлетворяющих условию .Доказать, что выпуклое множество, но не выпуклое тело. 2. Доказать то же самое для множества точек в , каждая из которых ймеет лишь конечное число отличных от нуля координат. Если выпуклое множество, то его ядро тоже выпукло. Действительно, пусть и Тогда для данного найдутся такие и , что при , точки и принадлежат множеству , следовательно, ему принадлежит и точка при т. е. Установим следующее важное свойство выпуклых множеств. Download 48.05 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling