§ Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Теорема Хана — Банаха

5. Отделимость выпуклых множеств в линейном простран­стве. Пусть — действительное линейное пространство, а и — два его подмножества. Говорят, что определенный на линейный функционал разделяет эти множества, если суще­ствует такое число , что
при и при , т. е. Если

Функционал называется строго разделяющим множества и , если выполнено строгое неравенство

Следующие два утверждения непосредственно вытекают из определения разделимости.

1. 
   Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда он разделяет множества и (т. е. множества всех элементов вида , где , и точку 0).
   
2. 
   Линейный функционал разделяет множества и в том и только том случае, когда при каждом он разде­ляет множества и .
   

Из теоремы Хана — Банаха легко получается следующая теорема об отделимости выпуклых множеств в линейном про­странстве, имеющая многочисленные применения.
Теорема 5. Пусть и — выпуклые множества в дей­ствительном линейном пространстве , причем ядро хотя бы одного из них, скажем , не пусто и не пересекается с другим множеством. Тогда существует ненулевой линейный функционал. на , разделяющий и .
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что точка 0 принадлежит ядру множества . (Иначе мы рассмотрели бы множества и где Пусть , тогда точка принадлежит ядру множества а 0 принадлежит ядру множества Так как , то 0 не принадлежит ядру и . Пусть — функционал Минковского для . Тогда поскольку . Введем линейный функционал

Он определен на одномерном пространстве, состоящем из эле­ментов вида , и удовлетворяет условию

поскольку при , и при . По теореме Хана — Банаха функционал . можно продолжить до линейного функционала , определенного на всем и удовлетворяющего на условию и . Отсю­да следует, что при и в то же время . Таким образом, разделяет множества и , а следователь­но, разделяет и {0}; но тогда разделяет множества и .
Теорема доказана.