Ma'ruza 10 Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi Reja

(И)

(12)
\?\ ²=b^²₊(F ₊ S²\y"\²)(f_n+r²)

(13)
ko'rinishda уozish mumkin. T ni P² >&bd² shartdan tanlab, F uchun
1>F>2
tengsizlik hosil qilamiz. Shuning uchun, (12) va (13) dan quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi
(14)
(9) dagi skalyar ko'paytmani (14) ga asosan baholab, (11) ni hisobga olganda, xuddi ma'ruza 6 dagi (25) kabi

-1/2

b~^l+ 4

BF - 2bF
Уп Уо

+
e-^H(y^) > 2Fbjl - (| BB_y + Bb_yQ - 2 ЪВ
Уо

+41V'B |b~^l/2 +16| V'F| + 2 2FF_yn + BB_yo +28 < V'F,у" > \ gf + (15)
tengsizlikka ega bo'lamiz. Bunda A (9) dagi y² oldidagi koeffitsient. Qaralayotgan nuqtalarda o'zgaruvchilarni almashtirishning (4) formulasiga
asosan

(16)

Уп ' °^xn
b.. =c„ + 2dP ²x_nc_r , b =c -Sx,c_r 0 < i

'j "J
^{U x}n У< ^xi J ^xn J у
Уо ^xo

formulalarni hosil qilish oson.
Endi 8 ni shunday tanlaymizki,
£<1/2, S-R< 1, agar xeQ (17)
tengsizliklar bajarilsin. (5) , (11) va (16) ning oxirgi formulasidan (15) ning birinchi hadi ma'nfiy emas. Ma'ruza 11 dagi (16) dan va (16), (17) larga asosan
oldidagi ko'paytma RM_xdT~^l dan oshmaydi, bunda M_x faqat | с |' (Q) va
inf с orqali aniqlanadigan o'zgarmas son. (16) tengliklarga asosan
Q
{V'by) = {V'c,x)-d\x"\²c_Xn tenglik o'rinli. Shuning uchun 8 ni
d\x"\²c_Xnx/2 (18)
shartdan tanlab, (2) ga asosan
b + ({V'by))>s_x/2 (19)
tengsizlikni hosil qilamiz.
Endi, agar ,/> musbat bo'lsa |£"|² >\gf elemantar
tengsizlikni hosil qilamiz, agar (Wb,y") ma'nfiy bo'lsa, u holda (12) ga asosan
I «ff + ,/>£ > b-¹ (b + (Vbyy)I rl²
tengsizlikka ega bo'lamiz. Shunday qilib, (19) dan
IСVb,/>Й = min(l,ej2b) (20)
tengsizlik o'rinli.
Xuddi ma'ruza 11 da y² ning koeffitsienti baholanganidek, bunda ham ;/² koeffitsienti uchun
A>l/4-RM_xdr¹ (21)
baholash hosil qilamiz. (15) ning birinchi qo'shiluvchisini nomanfiyligini hamda |<^"|² ning koeffitsientini hisobga olganda, (10), (14), (20), (21) larga asosan
(15) dan, agar СМД1 + R⁴)₂/2, RM_xdT~^l <8s₂/2, Ss₂ <1/8 bo'lsa,
e^y"H(y-g) > -RM_xdT~^x \ + 2Se₂ \ RM_xdT~^l)y² - -cS²( 1 + R⁴)M_x (| + r²) = (28s ₂- RM_xdT~^l - cS²M_x(\ + Я⁴))|
+(l/4 - RM_xdT~^x - CM_X8²( 1 + Я⁴))У² ^ Ss₂ \ +1/8^²,
tengsizlik hosil bo'ladi.
Bunda 8 awal birinchi tengsizlikdan shunday tanlanadiki, uning uchun
(17) va (18) shartlar bajariladi, keyin 8 tayinlanadi va dT~^l shunday tanlanadiki, bular uchun (2) tengsizlik bajariladi. Shunday qilib, (3) shartlar bajarilganda M_x orqali hosil qilingan M uchun (22) tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Demak, H(y,g)> 0 bo'ladi, agar g vektor
P(y;g) = 0, = 0 shartlarni qanoatlantirsa. Agar H(y,g) = 0 bo'lsa,
(22) dan | = 0 va / = 0 bo'ladi. Bulardan (12) ga asosan £₀=£_и=0 hosil bo'ladi. Shuning uchun, biz bu holda g = 0 ga ega bo'lamiz. Bundan lemma isboti kelib chiqadi.
Teorema isbotini yakunlaymiz. Lemmaga asosan (6) dagi P xarakteristik simvol uchun Xyormander teoremasining shartlari bajariladi. Shuning uchun, G = G₀ uchun ma'ruza 11 dagi (3) karleman tengsizligi o'rinli.
Endi ma'ruza 11 dagi (10) integrallarda (4) ko'rinishda o'zgaruvchilarni almashtirsak, almashtirish yakobiani birga tengligini hisobga olganda, xuddi ma'ruza 11 dagidek, teorema isbotini keltirib chiqaramiz.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Qanday funksiya to'lqin operatoriga nisbatan psevdo- qavariq bo'ladi?
   
2. 
   Energiya integrali qanday tuziladi?
   
3. 
   Karleman baholashlari qanday ko'rinishga ega?
   
4. 
   To'lqin operatorining xarakteristik ko'phadi qanday tuziladi?
   
5. 
   Xyormander teoremasini to'lqin operatori uchun keltiring?