Ma'ruza 10 Evolyusion tenglama uchun Koshi masalasi Reja

(5)
tengsizlikni qanoantlantiradi.
Isbot. (p(t) = \x(t)f =(x,x) funksiyani qaraymiz. Bu funksiyani differensiallab quyidagilarni hosil qilamiz:

2(x',x) = 2(Ax,x) = [(A + A*)x,x], (p\t) = 2(x',x^f) + 2(x,x") = 2(Ax,Ax) + 2(x,A²x). Dastlab biz A operatorning o'zaro qo'shma bo'lgan holiga to'xtalamiz. Bu qaralayotgan holda
(X,A²x) = (AX,AX) bo'lib, bundan quyidagini hosil qilamiz
(p"(t) = 4(Ax,Ax)
Bularga asosan ys(t) = In
funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uchun Koshi - Bunyakovskiy tengsizligidan foydalansak
¥"{t) = -4-W\t) ■ (Pit) - (p\t)\ = -4--[(Ax, Ax) ■ (x,x) - (Ax,x)²] > 0 6)
(Pit) (Pit)
kelib chiqadi.
Endi (6) dan
Wif) < ^V(O) + jy/iT) (7)
tengsizlikni oson hosil qilamiz. (7) tengsizlikdan potensirlash asosida (5) tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, A o'zaro qo'shma normal operator bo'lsa (5) tengsizlik o'rinli bo Tar ekan.
A operator faqat normal bo'lsin. Bu hoi uchun (Ax, Ax) = (A * x, A * x) bo'ladi. Shuning uchun,
va
hosilalar uchun
cp\t) = (Ax, Ax) + (A * jc, A * jc) + 2(Ax, A * x) = [(A + A*)x,(A + A*)x],
cp\t) = {[(A + A*)x,(A + A*)x](x,x) - [(A + A*)x,xf}> 0 (P (■*)
kelib chiqadi. Bulardan yana (5) tengsizlik osongina kelib chiqadi. Endi bir jinsli bo Tmagan

tengsizlikka ega bo'lamiz. (23) tengsizlikdan foydalanib, Koshi - Bunyakovsikiy tengsizligiga asosan va \g₀\²+ ^ elementar tengsizlikni hisobga olganda quyidagilarni hosil qilamiz

(20)

Bg₍₎+2Fl=0
|^|²<4(_r²₊2^²),
//о >-\УВ\-\^\Щ> -2|VB\4у² ₊ 2Ъ^ >
7=1
«-1 (25)
^F/Д * "I • |Г|-4|VT|(_r² + 2^²),
7=1
>-I V"F|• |ф -4|V"F|(r² + 2^²).
7=1
(18) dan (20) ga asosan (24) va (25) ni hisobga olganda H(y;£,) uchun quyidagi tengsizlikka ega bo'lamiz
е^у"Н(у\£) > (2Fb_yn + BB_yn + Bb_yo - 2ЬВ_уо - 8| V'B \ b^V2 -
-32\V'F\b-8 FB -2bF b^V2 -8|2FF +BF b)£² +
II Уп Уо | Уп Уо
+(4F² + 2FF_yn + BF_yo - 4| V'B\b~^V2 - -16|V"F|-4 FB - 2bF b~^V2-A\2FF +BF )r²
II Уп Уо | Уп Уо ^и
Endi (16) ni hisobga olganda koeffitsientini 2~^lb_y dan katta ekanligini, y²
ning koeffitsientini 1/8 dan katta ekanligini ko'rish qiyin emas, agar T (2) shartdan, M esa teorema 1 shartidan aniqlangan bo'lsa. Bulardan tashqari oxirgi tengsizlikda o'zgaruvchilarni almashtirish formulasidan kelib chiqan
b = с + 2 dT~²xjo , b =c , 1 < i
y₀ Xo 0 у J Xj ' J
formulalar hisobga olingan.
Shunday qilib, (2) shart bajarilganda H(y\g) kvadratik forma uchun
tengsizlikni hosil qilamiz.
Agar H(y;g) = 0 bo'lsa, u holda £₀=Ova,y = 0 bo'ladi. Bulardan (23)
tengsizlikka asosan | H(y;g) = 0 shart <^ = 0 ga olib keladi. Bu esa g ning xarakteristik vektor ekanligiga ziddir. Bundan g ф 0 xarakteristik vektor uchun H{y\g) > 0 ekanligiga kelamiz. Lemma 1 isbot bo'ldi.
Lemma 1 dagi H(y,g)> 0 shartda t//(x) funksiyani biz (1) shartda aniqladik. Bunday t//(x) funksiyaga to'lqin operatoriga nisbatan psevdo - qavariq deb aytiladi.
Teorema 1 isbotini yakunlaymiz. Lemma 1 ga asosan (13) xarakteristik simvol P uchun teorema 3 dagi shartlar bajarilganligi kelib chiqadi. Shuning uchun, G = G_(j uchun (10) karleman tengsizligi о'rinli. (10) formulada (11) formula orqali o'zgaruvchilarni almashtiramiz. Bu almashtirishning yakobiani 1 ga tengligini hisobga olsak va xarakteristik simvolning bosh qismi birinchi tartibli hosilalarga bog'liq bo'lmaganligi uchun teorema 1 isbotini yakunlagan bo'lamiz.
Teorema 1 isbot bo'ldi.
Ma'ruzani o'zlashtirish uchun savollar.

1. 
   Qanday funksiyaga operatorga nisbatan psevdo- qavariq deymiz?
   
2. 
   Energiya integrali qanday tuziladi?
   
3. 
   Karleman baholashlari qanday ko'rinishga ega?
   
4. 
   To'lqin operatorining xarakteristik ko'phadi qanday tuziladi?
   
5. 
   Xyormander teoremasini to'lqin operatori uchun keltiring?
   

Ma'ruza 12
To'lqin koeffitsienti ixtiyoriy bo'lgan hoi uchun karleman baholashlari
Reja

1. 
   To'lqin koeffitsienti ixtiyoriy boTganda Karleman baholashlari.
   
2. 
   To'lqin operatorining xarakteristik ko'phadi.
   
3. 
   To Tqin operatoriga nisbatan psevdo - qavariqlik.
   

Tayanch iboralar.
To'lqin operatori. Psevdo-qavariqlik. Nogiperbolik Koshi masalasi. Xarakteristik ko'phad.
Biz ma'ruza 11 da to'lqin koeffitsienti x_n ga nisbatan monoton bo'lgan hoi uchun
т j\Vu\²e^2wdx + r³ j\ufe^2wdx_cii\²e^2wdx, r>k Qff/2 Qff/2 Qff/2
karleman baholashlarini tuzdik. Bu monotonlik sharti o'zgarmas koeffitsientli to'lqin operatorlarini o'rganmaydi. Shuning uchun, biz bu ma'ruzada o'zgarmas koeffitsientli to'lqin operatorlarini o'rganadigan holni qaraymiz va ular uchun psevdo - qavariq funksiyalar tuzamiz va ular asosida karleman baholashlarini tuzamiz.
Vazn funksiya i//(x) ni
i//(x) = ехр[х_й + d{ 1 - x²₀T~²) + 2-\S(\x'\² - Я²)] -1 (1)
ko'rinishda kiritamiz. Bunda x" ma'ruza 11 dakiritilgan Teorema. To'lqin koeffitsienti с Q da
c+> e_x, c_Xn> 0 (2)
tengsizliklarni qanoatlantirsin. U holda faqat | с |' (Q) ga bog'liq bo'lgan shunday M son mavjudki, agar
s_xT > dM(l + d), 8 ⁴)- s₂ (e₂ = e₂(ej) (3)
bo'lsa, u holda (3) tengsizlik o'rinli bo'ladi.
Teoremaning isboti. Xuddi ma'ruza 11 dagidek o'zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz:
=х₀,...,у_и_₁ = Vi, y_n = x_n+d(\-T-²xl) + 2-^lS^x"\²-R²). (4)
Bunda ham xuddi ma'ruza 11 dagi belgilashlarni rj, g, P, b, (p, В va F funksiyalar uchun saqlaymiz. (4) formulalarga asosan quyidagilarni hosil qilamiz.
д/дх₀=д/ду₀ - 2dT~²y₀d/дх_п, д/дх_} =д/ду+Syjd /ду_п,
д/дх_п=д/ду_п, (5)
ij₀=g₀-2dT~²y₀g_n, rjj =gj+3у£„, 0 _n = g_n
Shuning uchun, (5) ga asosan p(y;ko'phad
P(y-g) = -bgl + $?+...+ ^ + (Bg₀ + 2S< y",g" >)g²_n +(F + S²(6)
ko'rinishda ega bo'ladi.

Уп)
Yangi у o'zgaruvchilarda cp va Vcp lar uchun
ф) = е^у"-1, V(p = (0,0,...,0,e-
bo'ladi.
G₀ ning (4) almashtirishdagi aksi Q₀ bo'lsin.
Lemma. Teoremaning (5), (6) shartlari bajarilganda Xyormender teoremasidagi H(y,g)> 0 bo'ladi.

(V)
Isbot. Xuddi ma'ruza 6 dagidek xarakterstik g vektorda
P^w = -2 b^ + Bg_n, P^u> = 2 28_У]д_п, \ = (Bg₀ +2S< > + S²\f?)g_ni
P) = -ЪуД1 + (B4₀ + 2,5 < y",)_yi g„+(F + S²1 y"|\, 0 (8)
ifodalarga ega bo'lamiz.

(9)
Ma'ruza 11 dagi lemmadagidek i/(y, e'-H{y,g) = [{Biо + 2£ < > +2 (F + S²\f\)^]² + +(2Fb +BB_v +Bb_v -2bB_v +2S)^² +
^v У_м у_м Уп Уп ^v ^ ^ и
n-1
7=1
n-1
+*L^FyA'A+(^2FF,_B + +< ^V"^F>/ >)£++ (^4f2++
7=1

)(|£f + r²)
+ 2FF +25 < VF,y" >)y² + r₂,
bunda

+	F	+	b
			Уп

yoki
²(l + |/|") |c|'(Q)|?|².
H(y,g) kvadratik formani tuzishda r = 0 hoi uchun uning ko'rinishi oldingi ma'ruza 11 dagi (18) formula bilan berilishi hisobga olingan bo'lib, S²,S³,S⁴ li
hadlar r₂ ko'rinishli bo'ladi.
P(y;g) = 0 tenglikning haqikiy qismini ajratib, т ^]I_mP(y;g) = 0 tenglikning (6) ko'rinishidan hamda ma'ruza 11 dagi (14) ni hisobga olib,
-b^²+1Г г + (Bfo + 2 +{f + S² И²)(й -r²) = 0,
B^+2S(y"^") + 2[F + S²\y"\y_n = 0 tengliklarni hosil qilamiz. (11) ning birinchisini ikkinchisiga asosan

(10)