Ma’ruza 10: Jegalkin ko‘pxadi. Funksiyalar sistemasining to‘liqligi va yopiqligi

3- ta’rif. Agarda M to‘plamning yopilmasi o‘ziga teng, yani [M]=M bo‘lsa, M yopiq to‘plam deyiladi.
Misol:1) M=P₂ sinf yopiq sinf bo‘ladi.
2) sinf yopiq emas.
3) L sinf yopiq.
Muhim yopiq sinflar
Ushbu mavzuda biz ba’zi muhim yopiq sinflarni o‘rganamiz. (34-bet)

1. 
   Nolni saqlovchi barcha Bul funksiyalari sinfini orqali belgilaymiz, yani .
   

Masalan, funksiyalar T₀sinfga tegishli bo‘ladi.
1-Tasdiq. T₀ – yopiq sinfdir.
Isbot. Biz ixtiyoriy funksiyalar uchun funksiyani T₀ sinfga tegishli ekanigini ko‘rsatsak yetarli. Haqiqatan

2. 
   Birni saqlovchi barcha Bul funksiyalari sinfini orqali btlgilaymiz, yani .
   

Masalan, funksiyalar T₁sinfga tegishli bo‘ladi.
2- Tasdiq. T₁ – yopiq sinfdir.
Isbot. Biz ixtiyoriy funksiyalar uchun funksiyani T₁ sinfga tegishli ekanigini ko‘rsatsak yetarli. Haqiqatan

3. 
   O‘z-o‘ziga dual barcha Bul funksiyalar sinfini orqali btlgilaymiz, yani .
   

Masalan, funksiyalar S sinfiga tegishli bo‘ladi.
3- Tasdiq. S – yopiq sinfdir.
Isbot. Biz ixtiyoriy funksiyalar uchun funksiyani S sinfga tegishli ekanigini ko‘rsatsak yetarli. Haqiqatan

Quyidagi lemma o‘z-o‘ziga dual bo‘lmagan funksiya haqidagi lemma deb yuriniladi.
1-lemma. Agar bo‘lsa, u holda ushbu funksiyadan funksiyalarni o‘rniga qo‘yish yo‘li bilan bir o‘zgaruvchili o‘z-o‘ziga dual bo‘lmagan funksiyani, yani konstantani, hosil qilish mumkin. (35-bet)
Isbot. Ayraylik bo‘lsin. U holda shunday borki tenglik o‘rinli. Quyidagi funksiyalarni qaraymiz va ular yordamida funksiyani aniqlaymiz:

Bu funksiya funksiyadan funksiyalarni o‘zgaruvchilar o‘rniga qo‘yish bilan hosil qilindi va konstantaga teng. Haqiqatan,
Lemma isbotlandi.
Asosiy darsliklar va o’quv qo’llanmalar

1. Kenneth H. Rosen, Discrete mathematics and its applications, 7-edition, The McGraw-Hill Companies, 2012. (816-819 betlar)

2. Yablonskiy S.V. Vvedenie v diskretnuyu matematiku. M. «Nauka» 1986
3. Lavrov I.A., Maksimova L.L. Zadachi po teorii mnojestv, matematicheskoy logike i teorii algoritmov. M. «Nauka» 1995