Ma’ruza 10: Jegalkin ko‘pxadi. Funksiyalar sistemasining to‘liqligi va yopiqligi

4-misol. - funksiyalar sistemasi to‘liqdir. Bu sustemaning to‘liqligi 3-misol kabi ko‘rsatiladi.
5-misol. - funksiyalar sistemasi to‘liqdir. Quyidagi ayniyatlarning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish qiyin emas.

Demak 3-misoldagi sistemaning barcha funksiyalari bu sistema ustida formula ko‘rinishida ifodalanadi.
6-misol. - funksiyalar sistemasi to‘liqdir. Quyidagi ayniyatlarning o‘rinli ekanlini ko‘rsatish qiyin emas.

Demak 3-misoldagi sistemaning barcha funksiyalari bu sistema ustida formula ko‘rinishida ifodalanadi.
Ixtiyoriy Bul funksiyasini funksiyalari yordamida formula ko‘rinishida ifodalagandan keyin, qavslarni ochib chiqib, algebraik almashtirishlar bajarib mod 2 bo‘yicha ko‘phad (Jegalkin ko‘phadi) ko‘rinishida ifodalanadi. Quyidagi teorema o‘rinli.
2-teorema.(Jegalkin). (32-bet)Ixtiyoriy Bul funrsiyasi Jegalkin ko‘phadi yordamida ifodalanishi mumkin, ya’ni uchun
, bu yerda .
Ushbu ko‘phadda

ko‘rinishidagi hadlar soni 1 dan n gacha bo‘lgan natural sonlar to‘plamining qism to‘plamlari soniga, ya’ni ga teng. Ularning koeffitsiyentlari faqat 0 yoki 1 qiymat qabul qilgani uchun barcha n o‘zgaruvchili Jegalkin ko‘phadlarining soni ga, ya’ni barcha n o‘zgaruvchili Bul funksiyalarining soniga teng. Bu esa Bul funksiyasini Jegalkin ko‘phadi yordamida yagona ravishda ifodalanishini bildiradi.
Misol. Ushbi funksiyani Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishida ifodalang:

Yechish: Berilgan funksiya uchun noma’lum koeffisientli ko‘phad ko‘rinishidagi ifodasini izlaymiz:

_{Funksiyaning qiymatlar jadvalida noma’lum koeffisientlarni aniqlaymiz:}

0	0	0	1	h	h=1
0	0	1	1	g+h	g=0
0	1	0	1	f+h	f=0
0	1	1	1	d+f+g+h	d=0
1	0	0	1	e+h	e=0
1	0	1	0	c+e+g+h	c=1
1	1	0	0	b+e+f+h	b=1
1	1	1	1	a+b+c+d+e+f+g+h	a=0

_{Jadvalning 4 va 5- ustunlarini tenglashtirishdan hosil bo‘lgan tenglamalar (noma’lum koeffisientlarga nisbatan) sistemasini yechib, 6- ustunni hosil qilamiz. Demak}

To‘liqlik tushunchasi bilan yopilma va yopiq sinf tushunchalari bevosita bog‘liq hisoblanadi. (33-bet)
2-ta’rif. Aytaylik bo‘lsin. to‘plamning funksiyalari yordamida formula ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lgan barcha funksiyalar to‘plamiga to‘plamning yopilmasi deyiladi. M to‘plamning yopilmasi [M] kabi belgilanadi.
Misol:1) M=P₂ bo‘lsa, ko‘rinib turibdiki [M]=P₂ bo‘ladi.
2) bo‘lsa, bu to‘plamning yopilmasi barcha chiziqli funksiyalar sinfi L, yani ko‘rinishidagi funksiyalar sinfi bo‘ladi.