Ma’ruza. №3 mavzu: boshlang’ich funksiya va aniqmas integral. Reja

2-Misol. funksiyaning nuqtadan o’tuvchi boshlang’ich funksiyasini toping.
Yechish. funksiya uchun tenglikka va qiymatlarni qo’yib, , ni hosil qilamiz. Bundan , Demak
2-Ta’rif. Agar funksiya biror kesmada funksiya uchun boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, ifoda funksiyadan olingan aniqmas integral deb ataladi va ushbu ko’rinishda belgilanadi. Ta’rifga ko’ra bo’lsa, .
Bunda funksiya integral ostidagi funksiya, integral ostidagi ifoda.
Aniqmas integralning xossalari.
funksiya aniqmas integrali ning differensiali ga teng bo’ladi:
Isbot: Haqiqatan, va

. Funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan o’zgarmas son yig’indisiga teng:

Isbot: funksiya funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
bo’lib, (*)
(**) bo’ladi. Yuqoridagi (*) tenglikdan foydalanib topamiz.
(***)
Natijada (**) va (***) munosobatlardan

kelib chiqadi.
Chekli funksiyalar yig’indisining va ayirmasining aniqmas integrali berilgan funksiya integrallarining yig’indisiga va ayirmasiga teng.

Isbot:
Haqiqatan va bo’lsin. U holda
, va shunga ko’ra


Bunda
O’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi ostidan chiqarish mumkin.

Isbot: Buni isbotlash uchun ikkala tomondan hosila olamiz.
,
3. Asosiy Integrallar jadvali.
Aniqmas integralning ta’rifi, xossalari, shuningdek differensiallashning asosiy formulalaridan foydalaninib, eng sodda elementar funksiyalarning integrallari jadvalini tuzamiz.

1. 
   11.
   
2. 
   12.
   
3. 
   13.
   
4. 
   14.
   
5. 
   ( 15.
   
6. 
   16.
   
7. 
   17.
   
8. 
   18.
   
9. 
   19.
   
10. 
    20.
    

Integrallash usullari : Yoyish usuli, Differensial belgisi ostiga kiritish usuli, O’zgaruvchilarni almashtirish usuli, bo’laklab integrallash usuli, kvadrat uchhadli integrallarni hisoblash.
I. Yoyish usuli. Bu usulda dastlab berilgan integral ostidagi murakkabroq funksiya soddaroq (masalan, integrallari bevosita jadval orqali topiladigan). funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasiga yoyiladi.