Ma’ruza 6 Funksiyani hosila yordamida tеkshirish. Funksiyaning o`suvchi va kamayuvchi bo`lishi. Funksiyaning ekstrеmum qiymati. Funksiyaning asimtotalari. Funksiyaning botiqligi va qabariqligi. Burilish nuqtasi

4-teorema. (ekstremum mavjudliginig yetarli sharti) Agar f(x) funksiya x=x₁ kritik nuqtani o’z ichiga olgan biror intervalda uzluksiz va uning barcha nuqtalarida f '(x), x=x₁ kritik nuqtadan chapdan o’nga o’tganda o’z ishorasini «+» dan «-» ga o’zgartirsa funksiya bu x₁ nuqtada maksimumga erishadi. Agar «-» dan «+» ga o’zgartirsa esa minimumga ega bo’ladi.
Isboti. f '(x) hosila x=x₁ kritik nuqtadan o’tishda o’z ishorasini «+» dan «-» ga o’zgartirsin. Bu esa hosilaning x_L nuqtariing chapida musbat, o’ngida manfiy ekanligini ya'ni x'(x)>0, xda f (x)<0 ekanini bildiradi. Funksiyanin o’sish va kamayish haqidagi teoremaga ko’ra, agar x₁- bo’lsa, f'(x)>0, agar X!bo’lsa, f'(x)<0 bo’ladi.
Bu esa f(x) funksiyamiz [x₁- ;x₁] da o’sadi [x₁;x₁+ ] da kamayadi degan so’z. Demak funksiyaning. x₁ nuqtadagi qiymati [x₁ ; X₁+ ] kesmadagi eng katta qiymati bo’ladi, bu esa funksiya x₁ nuqtada maksimumga ega ekanligini bildiradi. Minimumga ega bo’lgan hol ham shu yo'1 bilan isbotlanadi.
Eslatma. Agar f '(x) hosila kritik nuqtadan o’tayotganda o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya bu nuqtada maksimumga ham •rninimumga ham erishmaydi.

f'(x) hosilaning x1 kritik nuqtadan o’tishdagi ishorasi			Kritik nuqtaning harakteri
x1	x=x1	x>x1
+	f'(x)=0 yoki mavjud emas	-	Maksimum
-	f'(x)=0 yoki mavjud emas	+	Minimum
+	f'(x)=0 yoki mavjud emas	+	Funksiya o’sadi
-	f'(x)=0 yoki mavjud emas	-	Funksiya kamyadi

Shunday qilib, differensiallanuvchi fiinksiyalarning birinchi tartibli hosila yordamida maksimum va minimumlarini topish uchun³:
1.f'(x) topiladi.
2.f '(x)=0 tenglamani yechib kritik nuqtalar topiladi.
3.Hosilaning kritik nuqtalardan chapdan o’ngga o’tishdagi ishoralari aniqlanadi.
4.Kritik nuqtalardagi funksiyaning qiymati hisoblanadi.