Ma’ruza 6 Funksiyani hosila yordamida tеkshirish. Funksiyaning o`suvchi va kamayuvchi bo`lishi. Funksiyaning ekstrеmum qiymati. Funksiyaning asimtotalari. Funksiyaning botiqligi va qabariqligi. Burilish nuqtasi

5. Funksiya grafigining qavariqligi, botiqligi va egilish nuqtalari.
Bir qiymatli va differensiallanuvchi bo’lgan y=f(x) funksiyaning grafigini ko’raylik.
3-ta'rif. Agar y=f(x) funksiyaning (a,b) intervaldagi grafigi shu intervaldagi ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan urinmadan pastda bo’lsa, funksiya grafigini shu intervalda qavariq deyiladi; Agar yuqorida bo’lsa funksiya grafigini shu intervalda botiq deyiladi.
4-ta’rif. y=f(x) funksiya grafigining qavariq qismini botiq qismidan ajratuvchi nuqtaga egri chiziqning egilish (yoki burilish) nuqtasi deyiladi.
6-teorema. Agar y=f(x) funksiyaning (a,b) intervaldagi f "(x) hosilasi mavjud bo’lib, f"(x)<0 bo’lsa, u holda funksiya grafigi shu intervalda qavariq bo’ladi, agar f "(x)>0 bo’lsa botiq bo’Jadi.
Misollar. 1. y=2-x² y"=-2<0. Dermak egri chizik hamma joyda qavariq.
2. y=ye^x y"=ye^x>0 Demak egri chizik hamma joyda botik.
3. y=x³ y"=6x; x<0 da qavariq, x>0 da botiq. x=0 burilish nuqtasi bo’ladi.
7-teorema. Agar y=f(x) funksiyaning x=x_o nuqtadagi hosilasi f'(x_o)=0 (yoki mavjud bo’lmasa) bo’lib, f "(x) ning ishorasi x₀ dan o’tganda o’zgarsa, u holda x=x_o nuqta f(x)
funksiyaning burilish nuqtasi boiadi.
Misol. y=x'-3x funksiyani tekshiring.'
Yechish. y'=3x²-3 ; y=6x y"=0 6x=0 x=0; x<0 da f(x)=6x<0 demak funksiya (-∞;0) da qavariq, x>0 da f "(x)=6x>0 demak funksiya (0; ∞) da botiq. x=0 nuqta esa burilish nuqtasi bo’ladi.
6. Funksiya grafigining asimptotalari.
Ta'rif. Agar egri chiziqning o’zgaruvchi M(x,y) nuqtasi koordinata boshidan cheksiz uzoqlashgan-da uning biror to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofasi δ nolga intilsa bu to’g’ri chiziq egri chiziqning asimptotasi⁵ deyiladi. Biz vertikal ya'ni ordinata o’qiga parallel va og’ma ya'ni ordinata o’qiga parallel bo’lmagan asimptotalarni ko’ramiz.