Ma’ruza №7 qattiq jismlarning deformatsiyalanishi

Erkin mexanik tebranishlar. 

so’nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasini keltirib chiqarishga 

harakat  qilamiz.  Tebranuvchi  jismga  qaytaruvchi  kuch  va  jismning  harakat  tezligiga  proportsional 

bo’lgan qarshilik kuchlarning yig’indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik. 

Bu yerda 

 

 

             qarshilik kuchi,      qarshilik koeffitsienti,           harakat tezligi, 

“–“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi yo’nalishiga teskari ekanligini bildiradi. 

    o’q  bo’ylab  to’g’ri  chiziqli  so’nuvchi  tebranish  uchun  Nyutonning  II  qonuni  quyidagi 

ko’rinishga ega bo’ladi: 

 

 

 

 

 

  

 

       

 

     

 

 

     

  

  

                                                           

 

Bu  yerda 

      tebranuvchi  kattalik,   

 

   qarshilik  kuchi  yo’qligidagi  tebranishlar  chastotasi  yoki 

tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir. 

---

Tenglikning hadlarini 

  ga bo’lsak, quyidagi ifodaga ega bo’lamiz: 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

   

 

 

  

  

                                                               

 

Bu  ifoda  erkin  so’nuvchi  tebranishlarning  differentsial  tenglamasi  deb  ataladi.  Bu  yerda 

        , 

    so’nish koeffitsienti deb ataladi. (9.38) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham yozish mumkin: 

 

 

 

 

  

 

    

  

  

    

 

 

                                                                  

 

Bu tenglamaning yechimi 

 

     

 

 

   

     

 

                                                                  

 

dan iboratdir. Bu yerda, 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 so’nuvchi tebranishning chastotasidir 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

                                                            

 

Muhitning  qarshiligi  bo’lmagan  holatda  (

       ) (9.41) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga 

tenglashadi: 

 

 

   

 

.  (9.40)  -  funktsiya  ko’rinishiga  qarab,  tizimning  harakatini 

 

 

  chastotali, 

amplitudasi vaqt bo’yicha o’zgaradigan quyidagi 

 

 

 

 

 

   

 

 

   

 

 

so’nuvchi  tebranish  deb  qarash  mumkin.  Bu  yerda 

 

 

  -  vaqtning  boshlang’ich  holatidagi  tebranish 

amplitudasidir. 

 

9  -  rasmda  amplituda  va  siljishning  vaqtga  bog’liq    egri  chiziqlari  keltirilgan.  Egri  chiziqlarning 

yuqorigisi 

 

 

 

 

   

 

 

   

 funktsiya grafigini belgilaydi. Bu yerda 

 

 

 va 

 

 

 boshlang’ich momentdagi 

amplituda va siljishning qiymatlaridir. 

Boshlang’ich siljish 

 

 

 o’z vaqtida, 

 

 

 dan tashqari, boshlang’ich fazaga ham bog’liqdir: 

 

 

 

   

 

     

 

---

Tebranishning so’nish tezligi 

         bilan aniqlanadi va u so’nish koeffitsienti deb ataladi. 

Amplituda 

    marta kamayishga ketgan vaqt 

 

 

   

   

  

            

 

 

 

  

 

 

 

ga tengdir. so’nuvchi tebranishlar davri 

 

   

  

 

 

                                              

 

ifoda  bilan  aniqlanadi.  Muhitning  qarshiligi  sezilarli 

ravishda  kichik  bo’lganda 

  

 

   

 

 

 ,  tebranish  davri 

xususiy davrga teng bo’ladi: 

   

  

 

 

 

 

 

so’nish koeffitsienti ortishi bilan tebranish davri orta boradi. 

Bitta to’la davrning boshlang’ich va oxirgi holatlariga 

mos keluvchi amplitudalar nisbati quyidagiga tengdir: 

 

    

        

   

  

                                            

 

va  u  so’nish  dekrementi  deb  ataladi.  Bu  ifodaning  logarifmi  so’nishning  logarifmik  dekrementi  deb 

ataladi: 

 

      

    

        

     

  

                                                            

 

So’nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini xarakterlaydi, 

so’nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko’rsatadi. 

Yuqorida  ta’kidlangandek,  so’nish  koeffitsienti  r  qarshilik  koeffitsientiga  to’g’ri  va  tebranuvchi 

jismning massasiga teskari proportsionaldir. 

 (9.41)  -  ifodadan  tsiklik  chastota 

 

 

  xususiy  chastota 

   

 

  dan  kichikligi  ko’rinib  turibdi.  Agarda 

muhitning qarshiligi juda katta bo’lsa 

     

 

 dir, ildiz ostidagi 

 

 

 

   

 

 ifoda manfiy, tsiklik chastota 

esa mavhum bo’ladi. Bu holatda jism davriy bo’lmagan - aperiodik harakat qilaboshlaydi (10 - rasm).