Маъруза №9. Туташ муҳит (континиум) модели. Туташ муҳит ҳаракатини тавсифлашнинг Лагранж ва Эйлер усуллари Асосий фаразлар. Туташ муҳит (континиум) модели. Кириш. Механика турли моддий жисмларнинг ҳаракати ҳақидаги фан

Туташ муҳит ҳаракатини тавсифлашнинг икки усули.
Лагранж усули.
Моддий нуқталарни индивидуаллаштирувчи ўзгарувчилар ва вақт t Лагранж ўзгарувчилари деб аталади. Континиум ҳаракат қонунини
(1.3)
кўринишда берилиши туташ муҳит ҳаракатини Лагранж ўзгарувчиларида тавсифлаш дейилади. Бунда муҳит ҳолатини ва ҳаракатини характерловчи барча параметрлар(тезлик ,ҳарорат T , босим p ва ҳ.) ўзгарувчилар(Лагранж координаталари) ва вақт t нинг функцияси сифвтида қаралади:
(1.4)
яъни мазкур параметрлар ҳарбир зарра учун аниқланади, яъни ҳарбир зарранинг ҳаракати ва ҳолати ўрганилади.
Изоҳ. Континиум (туташ муҳит) нуқтаси ва зарраси тушунчаларини қуйидагича изоҳлаш мумкин. Кичик зарра бу координаталари бўлган муҳит нуқталарининг тўплами бўлиб, бу нуқталар координатаси бўлган нуқтадан чексиз кичик масофада ётади. Ушбу нуқта-зар- ранинг маркази моддий нуқта деб аталади.


Эйлер усули. Бу усулда муҳит ҳолатини ва ҳаракатини характерловчи барча параметрлар қаралаётган соҳадаги геометрик нуқтада аниқланади, яъни фазовий координаталар ва вақтнинг функцияси сифатида қаралади:
(1.5)
Ўзгарувчилар ва вақт t Эйлер ўзгарувчилари (Эйлер координаталари) деб аталади.
Ҳаракат ушбу икки усулдан бирида тавсифланган бўлса, иккинчисидаги тавсифлашни олиш мумкин. Шу маънода бу усулларни эквивалент дейиш мумкин.
Лагранж усулидан Эйлер усулига ўтиш. Ҳаракат Лагранж усулида тавсифланганда (1.3) ва (1.4) берилган бўлади.
Ушбу якобиан

нолдан фарқли бўлса, (1.3) ўзаро бирқийматли акслатиш бўлади ва демак (1.3) ни га нисбатан ечиш мумкин:
(1.5)
Натижада (1.5) ни (1.4) га қўйиб, (1.5) ни, яъни параметрларни Эйлер ўзгарувчилари орқали ёзилган ифодасинини оламиз.
Эйлер усулидан Лагранж усулига ўтиш.Масалан тезлик компоненталари
(1.6)
Декарт координата системасида берилган бўлса, қуйидаги
. (1.7)
муносабатлар га нисбатан дифференциал тенгламалар системаси бўлади. Ушбу системанинг ечими вақт t нинг ва учта интеграллаш ўзгармаслари C₁, C₂ , C₃ ларнинг фуккцияси бўлади. Бу ўзгармаслар бошланғич шартлардан топилади. Агар t=0 да х=x₀, y=y₀,z=z₀ ёки индексли белгилашда бўлса , (1.7) нинг ечимлари
x=x(x_0, y_0, z_0, t) , y=y(x_0, y_0, z_0, t), z=z(x_0, y_0, z_0, t) ёки (1.8)
кўринишга эга бўлади. Бу эса ҳаракат қонуни. Энди ларни лагранж координаталари деб олсак , (1.8) ҳаракат қонунининг юқорида киритилган кўринишини олади
(1.9)
, Шунинг учун улар муҳит нуқталарини индивидуаллаштирувчи ўзгармаслар вазифасини бажаради ва Лагранж ўзгарувчиларига ўтилади.