ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining hamjoylilik sharti. Reja

NATIJA.

bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

tenglamaga teng kuchli (bu yerda 0 – m-o’lchovli ustun vektor).

(2) tenglama (1) tenglamalar sistemasining vektor shaklidagi yozuvi deyiladi.

TEOREMA (**). A va B matrisalar (1) chiziqli tenglamalar sistemasining mos ravishda asosiy va kengaytirilgan matrisalari bo’lsin. Quyidagi tasdiqlar teng kuchli:

TEOREMA (**). A va B matrisalar (1) chiziqli tenglamalar sistemasining mos ravishda asosiy va kengaytirilgan matrisalari bo’lsin. Quyidagi tasdiqlar teng kuchli:

I. (1) chiziqli tenglamalar sistemasi hamjoyli.

II. (2) tenglama yechimga ega (ℱ maydon ustida).

III. b vektor A matrisa ustunlarining chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni b∈L(A1,A2,…,An) dan iborat.

IV. A va B matrisalarning ustun (satr) ranglari teng, r(A)=r(B).

ISBOTI. Yuqoridagi (*) teoremaga ko’ra I tasdiqdan II tasdiq kelib chiqadi.

Agar (2) tenglama yechimga ega bo’lsa, u holda b vektorni A matrisa ustun vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi (koeffitsientlari ℱ maydonga tegishli) ko’rinishida ifodalash mumkin. Demak, II dan III kelib chiqadi.

Agar b∈L(A1,A2,…,An) bo’lsa, A matrisaning A1,A2,…,An ustun vektorlari sistemasi B matrisaning A1,A2,…,An,b ustun vektorlari sistemasiga ekvivalent. «Chekli ekvivalent vektorlar sistemasilarining ranglari teng» ligiga ko’ra, A va B matrisalarning ustun ranglari teng. Demak, III tasdiqdan IV tasdiq kelib chiqadi.

Faraz qilaylik, A va B matrisalarning ustun ranglari teng bo’lsin. U holda A matrisa ustun vektorlari sistemasi bazisi B matrisa ustun vektorlarining ham bazisi bo’ladi. Demak, b∈L(A1,A2,…,An) bo’ladi, ya’ni shunday λ1,λ2,...,λn∈ℱ skalyarlar mavjud bo’lib, λ1A1+λ2A2+...+λnAn = b o’rinli. Demak, (λ1,λ2,...,λn) vektor (2) tenglamaning yechimi bo’ladi va (*) teoremaga ko’ra, (1) ning ham yechimi bo’ladi. Shunday qilib, IV dan I kelib chiqadi. Demak, I, II, III, IV tasdiqlar teng kuchli.

• Faraz qilaylik, A va B matrisalarning ustun ranglari teng bo’lsin. U holda A matrisa ustun vektorlari sistemasi bazisi B matrisa ustun vektorlarining ham bazisi bo’ladi. Demak, b∈L(A1,A2,…,An) bo’ladi, ya’ni shunday λ1,λ2,...,λn∈ℱ skalyarlar mavjud bo’lib, λ1A1+λ2A2+...+λnAn = b o’rinli. Demak, (λ1,λ2,...,λn) vektor (2) tenglamaning yechimi bo’ladi va (*) teoremaga ko’ra, (1) ning ham yechimi bo’ladi. Shunday qilib, IV dan I kelib chiqadi. Demak, I, II, III, IV tasdiqlar teng kuchli.