Ma'ruza matnlari 1- qism Buxoro 2019

bet	4/4
Sana	03.06.2020
Hajmi	438.33 Kb.
	#113535

1 2 3 4

Bog'liq
matematika maruza matni 1-qism

x>y

Parallellik va tenglik munosabatlari haqida ular refleksivlik

xossasiga ega yoki sodda qilib ular refleksiv deyiladi.

Ta'rif: Agar X to'plamdagi ixtiyoriy element haqida u o'z-o'zi bilan R

munosabatda deyish mumkin bo'lsa , X to'plamdagi munosabat refleksiv

munosabat deyiladi. Aytib o'tganimizdek, agar R munosabat refleksiv

bo'lsa, u holda grafning bir uchida sirtmoq bo'ladi. Teskarisi ham o'rinli:

har bir uchida sirtmoq bo'lgan graf biror refleksiv munosabatning grafini

ifodalaydi.

Refleksiv xossaga ega bo'lmagan munosabatlar mavjud. Masalan,

perpendikulyarlik munosabati shunday munosabatdir. X to'plamda o'z-

o'zini perpendikulyar deyish mumkin bo'lgan birorta ham kesma yo'q.

Endi kesmalarning parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari

graflariga e'tibor beraylik. Ularning o'ziga xos xususiyatlari shundan

iboratki, agar elementlar juftini tutashtiruvchi bitta strelka bor bo'lsa, u

holda , albatta, shu elementlarni tutashtiruvchi, lekin qarama- qarshi

yo'nalgan boshqa strelka ham bor bo'ladi. Bu strelkalar quyidagilarni

bildiradi:

1) agar birinchi kesma ikkinchisiga parallel bo'lsa: u holda ikkinchi

kesma ham birinchisiga parallel bo'ladi;

2) agar birinchi kesma ikkinchisiga perpendikulyar bo'lsa, u holda

ikkinchisi ham birinchisiga perpendikulyar bo'ladi;

3) agar birinchi kesma ikkinchisiga teng bo'lsa, u holda ikkinchi kesma

ham birinchisiga teng bo'ladi.

Parallellik, perpendikulyarlik va tenglik munosabatlari haqida ular

simmetriklik xossasiga ega yoki soddaroq qilib ularga simmetrik deb

aytiladi.

Ta'rif: Agar X to'plamdagi x element y element bilan R

munosabatda bo'lishidan y elementning ham x element bilan R

munosabatda bo'lishi kelib chiqsa, X to'plamdagi R munosabat simmetrik

munosabat deyiladi.

X da R simmetrik mynosabat bo'lsa', u holda xRy ↔ yRx

Simmetrik munosabatning grafi quyidagi xususiyatga ega: x dan y ga

boruvchi har bir strelka bilan birga , graf y dan x ga boruvchi har bir

strelkaga ega. Teskari da'vo ham o'rinli: x dan y ga boruvchi har bir

strelka bilan birga y dan x ga boruvchi strelkaga ega bo'lgan graf

simmetrik munosabatning grafi bo'ladi.

Simmetriklik xususiyatiga ega bo'lmagan munosabatlar ham

mavjud. Masalan, kesmalar uchun "uzunroq" munosabati shunday

munosabatdir.

Simmetrik munosabatning graflar yordamidagi tasvirida A

to'plamning "x elementidan y elementiga yo'nalgan strelka" bilan birga "y

elementidan x ga ham yo'nalgan strelka mavjud".

TA’RIF: Agar X to'plamdagi x element y bilan R munosabatda

bo'lishi va y elementning z element bilan R munosabatda bo'lishidan x

elementning z elementga P munosabati kelib chiqsa, X to'plamdagi P

munosabat tranzitiv munosabat deyiladi.

X to’plamdagi R tranzitiv munosabat bo’lsa u holda uni

quyidagicha holda yozish mumkin: xRy va yRz ↔xRz

Strelka birinchi elementdan ikkinchiga, ikkinchidan uchinchi elementga

borsa, u holda, albatta, birinchi elementdan uchinchi elementga boradigan

strelka ham bor bo'ladi. Graflarning bu xususiyati berilgan

munosabatlarning tranzitivlik xossasi deb ataluvchi xossani ifodalaydi.

Tranzitivlik munosabatining grafi x dan y ga va y dan z ga

boruvchi har bir strelkalar juftligi bilan birga x dan z ga boruvchi

strelkalarga ham ega . Teskari da'vo ham o'rinli.

X· · Y

Tranzitivlik xossasiga ega bo'lmagan munosabatlar ham mavjud.

Masalan, kesmalarning perpendikulyarlik munosabati shunday

munosabatdir: agar a kesma b ga va b kesma c ga perpendikulyar bo'lsa,

u holda a kesma c ga perpendikulyar bo'lmaydi.

Ta'rif: Agar X to'plamning turli x va y elementlari uchun x

elementning y element bilan R munosabatda bo'lishidan y element x

element bilan R munosabatda bo'lmasligi kelib chiqsa, X to'plamdagi R

munosabat antisimmetrik munosabat deyiladi.

Antisimmetrik munosabatning grafi quyidagi xususiyatlarga ega:

agar grafning ikkita uchi strelka bilan tutashtiriluvchi bo'lsa, u holda bu

strelka yagonadir. Teskari da'vo ham o'rinli: uchlari faqat bitta strelka

bilan tutashtiriluvchi graf antisimmetrik munosabatning grafi bo'ladi.

Hamma munosabatlar simmetrik va antisimmetrik munosabatlarga

bo'linadi deb o'ylamaslik kerak. Shunday munosabatlar uchraydiki, ular

na simmetrik xossaga va na antisimmetrik xossasiga ega emas. Masalan,

bir oiladagi bolalar to'plamida , "aka (uka) bo'lishlik" munosabatini

qaraylik. Oilada uchta bola bo'lsin: Karim, Murod, Tursunoy. U holda

"aka (uka) bo'lishlik" munosabatining grafigi quyidagicha bo'ladi.

K · M

TA'RIF. Agar

X uchun xRx bo'lsa, R munosabat antirefleksiv

munosabat deyiladi.

Misollar:

1) A to'plamda aniqlangan "tenglik" munosabati refleksivdir.

2) Haqiqiy sonlar to'plamida berilgan "katta emas (

)" munosabati

refleksiv , "kichik" munosabati esa antirefleksiv munosabatdir.

3)Tekislikdagi ko'pburchaklar to'plamida aniqlangan

"ko'pburchaklarning tengligi, o'xshashligi, tengdoshligi" munosabati

refleksiv munosabatdir.

Refleksiv, simmetrik va tranzitivlik munosabat ekvivalentlik munosabat

deyiladi. Ekvivalentlik munosabatini grafiklar yordamida tasvirlaymiz.

· ·

A to'plamning har bir x elementida sirtmoq bor

( refleksivlik), elementlarning har bir jufti qarama-qarshi yo'nalgan

ikkita strelka bilan bog'langan (simmetrik), ixtiyoriy x,y,zA uchun x dan

y ga , y dan z ga yo'nalgan strelka bor (tranzitivlik).

Ta'rif: Agar X to'plamda berilgan R munosabat refleksiv,

simmetrik va tranzitiv bo'lsa, u holda u ekvivalentlik deyiladi.

Masalan, to'g'ri chiziqlarning parallellik munosabati, figuralarning

tenglik munosabati ekvivalentlik munosabat bo'ladi. Kasrlarning tengligi

munosabati grafini, shuningdek, kesmalarning parallelligi a tengligi

munosabatlari graflarini qaraylik. Bularning hammasi boshqa munosabat

lar graflaridan shu bilan farq qiladiki, ular munosabati berilgan to'plam

bir nechta qism to'plamlarga ajralishi ko'rinib turadi.

Teorema: Agar X to'plamda ekvivalentlik munosabati berilgan

bo'lsa, u holda bu munosabat X to'plamni jufti- jufti bilan kesishmaydigan

Z

У

qism to'plamlarga ajratiladi. Teskari da'vo ham o'rinli: agar X to'plamda

berilgan biror-bir munosabat bu to'plamning sinflarga ajralishini aniqlasa,

u holda bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo'ladi. Agar

ekvivalentlik munosabati nomga ega bo'lsa, u holda sinflarga ham mos

nom beriladi. Masalan, agar kesmalar to'plamida tenglik munosabati

berilsa (bu ekvivalentlik munosabati bo'ladi) , u holda kesmalar to'plami

teng kesmalar sinfiga ajraladi. Uchburchaklar to'plami o'xshashlik

munosabati bilan o'xshash uchburchaklar sinfiga ajratiladi.

To'plamlarni bunday sinflarga ajratishning muhimligi nimada? Gap

shundaki, ekvivalentlikning har bir sinfida ekvivalent elementlar , ya'ni

ba'zi munosabatlari nuqtai nazaridan farqlanmaydigan elementlar bo'ladi.

Masalan, teng kasrlar yoki o'xshash burchaklar. Shuning uchun

ekvivalentlik sinfi (to'plam) o'zining ixtiyoriy (bitta) vakili bilan, ya'ni bu

sinfning ixtiyoriy elementi bilan aniqlanadi deb hisoblanadi. Masalan,

teng kasrlarning ixtiyoriy sinfini shu sinfga tegishli ixtiyoriy kasrni

ko'rsatish mumkin.

Ekvivalentlik sinfini uning bitta vakili bo'yicha aniqlash to'plamning

hamma elementlari o'rniga ekvivalentlik sinfining alohida vakillari

to'plamini o'rganishga imkon beradi.

Vektorlar to'plamidagi "vektorlarning tengligi" munosabati ekvivalentlik

munosabatidir.

TARTIB MUNOSABATI

Biz "tartib" so'zini kundalik hayotdagi kabi matematika darslarida

ham ko'p qo'llaymiz. Ishga tushish tartibi haqida , jumladagi so'zlar

tartibi haqida gapiramiz: Matematika darsida amallarning bajarilish

tartibini bilish, tenglamalarni, masalalarni echish tartibini va hokazolarni

muhokama qilamiz. Tartib o'zi nima? Bir nechta misol qaraymiz :

1.Sinfdagi o'quvchilar to'plamida tartib o'rnatish uchun ularni

bo'ylariga qarab safga turg'izish etarli. Amalda bu ish o'quvchilar juftini

taqqoslashga olib keladi, ya'ni o'quvchilar to'plamida "Baland bo'lishlik"

munosabati qaraladi. Bu munosabat antisimmetrik va tranzitivdir.

2.Sinfdagi o'quvchilarni yoshlari bo'yicha, ya'ni "Katta bo'lishlik"

munosabatini berish bilan tartiblashtirish ham mumkin. Bu munosabat

ham antisimetrik va tranzitiv munosabatidir.

3.O'zbek alfavitida harflarning kelish tartibi hammaga ma'lum. Buni

antisimmetrik va tranzitivlik xossalarga ega bo'lgan "keyin kelishlik"

munosabati ta'minlaydi.

To'plamda biror tartibni o'rnatuvchi munosabatni biz eslab o'tgan

xossasi tartib munosabatining ta'rifiga asos bo'ldi.

Ta'rif: Agar X to'plamda R tranzitiv va antisimmetrik bo'lsa, u

holda bu munosabat tartib munosabati deyiladi.

X to'plam unda berilgan tartib munosabati bilan birga tartiblangan

to'plam deb ataladi.

X={2,8,12,32}to'plamni "Kichik" munosabati yordamida

tartiblashtirish mumkin. Buni "Karrali" munosabat yordamida ham

amalga oshirish mumkin. Biroq tartib munosabati bo'la turib "Kichik"va

"Karrali"munosabatlarni natural sonlar to'plamini turlicha tartiblashtiradi.

"Kichik " munosabati X to'plamdagi ixtiyoriy 2ta turli sonni taqqoslashga

imkon beradi. "Karrali" munosabati esa bunday xossaga ega emas.

Masalan: 8 va 12 sonlar jufti "karrali" munosabat bilan bog'langan emas:

8 soni 12 ga karrali deyish mumkin emas.

Barcha munosabatlar ekvivalentlik munosabati va tartib

munosabatiga bo'linadi deb o'ylamaslik kerak. Shunday katta sondagi

munosabatlar mavjudki, ular na ekvivalentlik va na tartib munosabati

bo'ladi.

Boshlang'ich matetimatika kursida ham, o'rta maktab kursida ham

munosabat tushunchasi umumiy ko'rinishda kiritilmaydi, bu erda turli

ob'ektlar orasidagi konkret munosabatlar o'rganiladi.

Boshlang'ich matematikada katta e'tibor sonlar orasidagi

munosabatlarni o'rganishga qaratiladi. Ular turlicha beriladi: qisqa

shaklga ("katta", "…marta katta", "…ta kam" ) ega bo'lgan ikki

o'zgaruvchili jumlalar yordamida beriladi, jadvallar to'ldiriladi.

Boshlang'ich sinf o'quvchilari ko'p sonli munosabatlar bilan matnli

masalalarni echishda uchrashadilar. Masalan, "Shirkat xo'jaligi davlatga

364 t bug'doy, bug'doydan 76 t kam sholi, sholidan 32 marta kam

grechixa sotdi. Shirkat xo'jaligi davlatga hammasi bo'lib qancha don

sotgan?" degan masalani echish uchun o'quvchilar " 76 t kam ", "32 marta

kam" munosabatlarining ma'nosini yaxshi tushunib olishi shart va zarur.

4) Bir tokchada ikkinchi tokchadagidan 3 marta ko'p kitob bor edi.

Birinchi tokchadan 8 ta kitob olinib, ikkinchi tokchaga 5 ta kitob

qo'yilgandan keyin ikkinchi tokchada birinchi tokchadagidan 17 ta kam

kitob bo'ldi. Har bir tokchada nechta kitob bo'lgan?

Bu masalani echish uchun o'quvchilar " 3 marta ko'p", "17 ta kam" kabi

munosabatlarning ma'nosini yaxshi tushunib olishlari kerak.

5) Avtobazada avtobuslardan 46 ta ko'p yuk mashinasi bor. Agar yuk

mashinasi avtobuslardan 3 marta ko'p bo'lsa, avtobazada nechta yuk

mashinasi bo'lgan ?

Bu masalani echish uchun o'quvchilar "46 ta ko'p" "3 marta ko'p"

munosabatlarini yaxshi anglab olmog'i zarur. Birinchi sinfdayoq

o'quvchilar natural sonlar uchun "katta" va "kichik" munosabatlari bilan

tanishadilar. Keyin kesmalar "Uzun" va "qisqa" munosabatlarini

o'rganadilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar to'plamida va kesmalar

to'plamida tartib o'rnatiladi.

N A Z O R A T U CH U N S A V O L L A R:

1. Binar munosabat nima?

2. Munosabat berlishi uchun qanday to'plamlarning berilishi etarli?

3. Munosabat grafi va grafigini izohlang?

4. To'plamlar munosabatining qanday xossalari mavjud ?

5. Ekvivalentlik munosabati nima?

6. Qat'iy tartib munosabati nima? Misollar keltiring.

7. Noqat'iy tartib munosabati nima? Misollar keltiring.

А Д А Б И Ё Т Л А Р

1. Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. «Бошлангич математика курси

асослари» Тошкент «Укитувчи» 1991й.

2. Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало, В.В.Рождественская,

Л.П.Стойлова Математика М. «Просвечение» 1977.

3. А.А.Стойлар, Л.П.Лелчук Математика «Высшая школа»

Минск 1976

A K S L A N T I R I SH L A R.

REJA:

1. Akslantirish ta'rifi. Misollar.

2. Akslantirsh turlari

3. Teskari akslantirishlar.

4. Sanoqli to'plamlar.

5. Boshlangich matematika kursida tutgan o'rni

TAYANCH IBORALAR: Akslantirish, teskari akslantirish, in'ektiv

akslantirish, syur'ektiv akslantirish, biektiv akslantirishlar.Sanoqli

to'plamlar.

TA'RIF : Agar X to'plamning har bir elementiga Y to'plamining bit

tadan ortiq bo'lmagan elementi mos kelsa,bunday moslikka funktsional

moslik yoki funktsiya deyiladi.

X va Y to'plamlar orasidagi funktsional moslik quyidagicha

belgilanadi :

y=f(x) yoki f:x y

quyidagi moslik grafini ko'ramiz:

X={a,b,c,d,e,f}

Y={1,2,3,4}

f- moslikka qatnashadigan X to'plam elementlarini A bilan belgilaymiz.

A={a,b,c,d,e}-f mosliknining aniqlanish sohasi .

B={1,2,3}-f moslikning qiymatlar to'plami.

TA'RIF : Agar f funktsional moslikning aniqlanish soxasi A bilan

uning yo'naltiruvchi sohasi X ustma-ust tushsa bunday moslikka

akslantirish deyiladi.

f-akslantirish bo'yicha xєA elementga mos keluvchi yєB element x

elementning obrazi(aksi) deyiladi va bunday yoziladi: y= f (x)

f akslantirish bo'yicha o'z obrazlari bo'lmish yєB elementlarga ega

bo'lgan { x } A elementlar to'plami u elementining proobrazlari (asillari)

deyiladi .

Demak ,akslantirish -funktsional moslik (funktsiyaning) xususiy holidir:

Misollar:

1) X-natural sonlar to'plami

U-natural son yozuvidagi raqamlar sonini ifodalovchi to'plam bo'lsin.Bu

to'plamlar orasida "x natural son y raqamga ega".Moslikni qaraylik.Bu

moslik funktsional moslik bo'la oladimi? Akslantirishchi? Bu funktsional

moslik funktsiya ham bo'ladi,akslantirish ham bo'ladi.

Masalan : 2346 4

40315 5 Har bir natural sonda unga mos keluvchi

raqam soni topiladi.

2) Auditoriyadagi talabalar to'plami -X ,partalar to'plami Y

bo'lsin.Talabalar to'plami bilan partalar to'plami orasida moslik mavjud

."x talaba y partada o'tiradi". Bu moslik funktsiya ham , akslantirish ham

bo'ladi.

3) A- barcha haqiqiy sonlar to'plami Y -barcha butun sonlar to'plami.

f:A→B akslantirish shunday akslantirishki, har bir xєA elementga shu x

2 ga teng yoki undan kichik y ga tegishli sonni mos keltiradi.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Bu " ga" akslantirishga misol bo'ladi.Bunda B ning har bir elementiga A

to'plamining butun qism to'plami akslantiriladi.

Aslini aytganda, shu misolning o'zida A to'plamni

akslantirganimizda B to'plam A to'plamning qism to'plamidir.

Shuning uchun f:A→B akslantirishni bajarayotganda A va B

to'plamlar mutlaqo turli to'plamlar bo'lishi shart emas.B to'plam A

to'plamning qismi ham bo'lishi ,A to'plamning o'zi ham bo'lishi yoki A

to'plamni o'z ichiga oladigan to'plam yoki A to'plam bilan biror kesmaga

ega bo'lgan to'plam bo'lishi ham mumkin.

4)A va B to'plamlar koordinata o'qlarini ifodalovchi sonlar to'plami

bo'lsin. Bu to'plamlar orasida y=2x akslantirishni olaylik. Tekislik {(x;y)}

ko'rinishdagi juftliklar to'plamidan iborat . Bunda xєA,yєB {(x,2x}juftlar

to'plami bizning akslantirishimizni tasvirlaydi va u tekislikdagi to'g'ri

chiziq bilan tasvirlanadi. Akslantirishning aniqlanish sohasi haqiqiy

sonlar A to'plamdan iborat, akslantirishning qiymatlari to'plami esa

haqiqiy B to'plamdan iborat. A = B ya'ni bir xil to'plamdan iborat

bo'lganligi uchun akslantirish "ga" akslantirishdan iborat . Turli xєA ga

turli yєB lar mos keladi. Shunday qilib, bu misol bir qiymatli akslantirish

misolidir.

5) Misol: X- Aylana ustidagi nuqtalar to'plami

Y- aylana diametridagi nuqtalar to'plami

f-moslik : " har bir x aylana nuqtasini uning ortogonal proektsiyasi

aylana diametridagi y nuqtaga mos qo'yiladi." Bu moslik funktsiya ham

bo'ladi , akslantirish ham bo'ladi.

A u B

6) Misol: y

X va Y to'plamlar natural sonlar to'plami bo'lsin. Har bir natural songa

uning kvadrati mos qo'yilgan bo’lsin. Bu moslik akslantirish bo'ladi.

Chunki har bitta sonning kvadratiga yagona qiymat mos keladi.

Masalan:

=49 6

=36 9

=81

AKSLANTIRISh TURLARI.

Ikki to'plamning bir-biriga akslantirishlari har xil bo'lishi mumkin.

Akslantirishlarning 3 turi mavjud:

1. Ustiga akslantirish. (In'ektiv akslantirish).

2. Ichida akslantirish (Syur'ektiv akslantirish)

3. O'zaro bir qiymatli akslantirish (Biektiv akslantirish)

USTIGA AKSLANTIRISh.

R va Q to'plamlar berilgan bo'lib Q to'plamninng har bir elementiga

R to'plamninig kamida bir elementi mos keladigan bo'lsa , bu holda

akslantirish "ustiga " akslantirish bo'ladi.

Q R

Bunda Q to'plam R to'plamga akslanadi.

TA'RIF: Agar Q va R to'plamlar orasidagi akslantirishda

qiymatlar to'plami B bilan qabul qiluvchi soha R ustma-ust tushsa,

bunday aksalantirishga ustiga akslantirish deyiladi.Misol: X={a;b;c;d}

to'plamni Y={3;5;7} to'plamga akslantirish jadval usulida berilgan.

Bulardan qaysi biri X to'plamni Y to'plam ustiga akslantirish bo'ladi?

Bu masalaning savoliga javob berish uchun har bir holni ko'rib

chiqamiz.

a) dagi moslik ustiga akslantirish bo'ladi ,chunki qiymatlar to'plami B

qabul qiluvchi soha Y bilan ustma -ust tushgan.

v) dagi moslik ustiga akslantirish bo'la olmaydi,chunki unda qiymatlar

to'plami qabul kiluvchi soha bilan ustma -ust tushmagan.

s) dagi moslik ham ustiga akslantirish bo'la oladi.Chunki bu erda ham

qiymatlar to'plami qabul qiluvchi soha bilan ustma-ust tushgan.

ICHIDA AKSLANTIRISH.

f akslantirish quyidagi R grafda berilgan bo'lsin.

R Q

b

c

5 3 5 7

R={a;b;c}

Q={1;2;3;4;5}

B={1,2,3}

F ( R )=B

Ta'rif : Agar R va Q to'plamlar orasidagi akslantirishda R to'plam Q

ning qism to'plamiga akslanib va Q ning har bir akslanayotgan

elementiga yagona asl element R dan mavjud bo'lsa , bunday

akslantirishga ichiga akslantirish deyiladi.

Misol: X={4;5;9} Y={2;3;5;7}

f(x): "x y ga karrali"

Bu moslik ichida akslantirishga misol bo'ladi, chunki qiymatlar to'plami

Y ning qism to'plami bo'ladi.B

O'zaro bir qiymatli akslantirish.

Agar Q to'plam sifatida R to'plamlamning o'zini olsak, unda R

to'plamni o'z-o'ziga akslantirishga ega bo'lamiz. R va Q to'plamlar

berilgan bo'lib,

esa R to'plamni Q to'plamga biror akslantirish bo'lsin,

u holda bunday belgilashni qo'llaymiz.

Agar elementlarga nisbatan aytadigan bo'lsak , φ akslantirish bo'yicha R

to'plamning x elementiga Q to'plamning y elementi mos keladigan bo'lsa

unda bunday belgilash ishlatiladi:

φ(x)=y va u element x ning "aksi" deb ataladi, x

esa uning "asli" deb nomlanadi.

Shuni aytib o'tish kerakki, R to'plamning x elementining Q to'plamda

"aksi" bitta bulishi shart, lekin Q to'plamning Y to'plamining "asli" bitta

emas, balki bir necha elementdan (to'plamdan) iborat bo'lishi mumkin.

Akslantirishning ichida shunday akslantirishlar ham borki, ular

"ustiga" akslantirishlardir va shuningdek, y elementning asli yagona x

element bo'ladi. Bunday akslantirishlar o'zaro bir qiymatli akslantirishlar

deb ataladi.

Misol:To'g'ri to'rtburchakning uchlari to'plami va tomonlar to'plami

orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rinli.

Ta'rif: Agar X to'plamning har bir elementiga Y ning 1 ta elementi mos

kelsa va aksincha, Y ning har bir elementiga X ning 1 ta elementi mos

kelsa , bunga o'zaro bir qiymatli moslik yoki bir qiymatli akslantirish

deyiladi.

Masala: AB va CD kesmalar orasida shunday moslik o’rnatilganki, A ga

C, B ga D mos kelib, AB kesma ustidagi X nuqtaga CD ustidagi Y nuqta

shunday mos kelganki, Y yagona proobraz X ga ega. Bunday munosabat

AB kesmani CD kesmaga akslantirish ekanini ko'ramiz. Bu akslantirish

o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'la oladimi? Ha bo`la oladi.

Bu akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'ladi. Chunki bunda

X ning har bir elementiga Y ning bitta elementi mos keladi.

Akslantirishga doir misol: Ushbu X={4;15;9;6} Y={2;3;19} to'plamlar

elementlari "x soni y sonidan kichik" va "x son y songa karrali "

munosabatlari orqali bog'langan. Bulardan qaysi biri X ning Y ga

akslantirish bo'ladi?

1) X={4;15;9;6} Y={2;3;19}

f(x): " x son y sondan kichik"

Bu moslik akslantirish bo'ladi, aniqrog'i ichida akslantirishga misol

bo'ladi.

2) f(x): "x son y songa karrali"

Bu moslik akslantirish bo'ladi.

Teskari akslantirish

Teskari akslantirish har bir y elementga x elementni mos qo'yadi.

akslantirish uchun teskari akslantirish

-1

orqali belgilanadi. Demak, agar

o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lsa ,

Q φ (x)=Y unda teskari akslantirish bunday

bo'ladi: φ

-1

R φ

-1

(y)=x

TA'RIF. Agar X va Y to'plamlar orasida berilgan f funktsional moslik

akslantirishda Y to'plamning har bir elementiga yagona asl element X da

mavjud bo'lsa , u holda X va Y to'plamlar orasida teskari akslantirish

berilgan deyiladi.

Misol: y=2x-1/ 3 funktsiyaga teskari funktsiyani toping. Bu tenglamani

x ga nisbatan echamiz va 2x-1=3y x= 3y+1/ 2 ga ega bo'lamiz.

x ni y ga va y ni x ga almashtirib y= 3x+1/2 teskari funktsiyani hosil

qilamiz.

SANOQLI TO’PLAMLAR

Natural sonlar to'plami bilan o'zaro bir qiymatli moslikda bo'lgan

to'plamlarga s a n o q l i t o' p l a m l a r deyiladi.

Masalan:

={2;4;6;8;10;12;…}

N={1;2;3;4;5;6;…..}

n ↔ n

. Natural soning kvadratlaridan tashkil topgan to'plam sanoqli

to'plam bo'ladi.

Misol: Funktsiya y=3x+1 tenglama bilan berilgan. Uning aniqlanish

sohasi {0;1;2;3;4;} to'plamdan iborat. Bu funktsiyaning qiymatlari

to'plamini toping. qiymatlar to'plamini topish uchun x ning qiymatini

qo'yib funktsiyani yechamiz. qiymatlar to'plami yє{1;4;7;10;13}

Barcha ratsional sonlar to'plami sanoqli to'plam barcha haqiqiy

sonlar to'plami sanoqli bo'lmagan to'plam ekanligini isbotlash mumkin.

Shu bilan birga ratsional sonlar to'plami sanoqli bo'lgani uchun

irratsional sonlar ratsional sonlarga qaraganda juda ko'p.

Agar son to'g'ri chizig'idan barcha ratsional sonlarni olib

tashlaydigan bo'lsak u holda sanoqsiz nuqtalar to'plami qoladi.

Sanoqli bo'lmagan to'plamlar ham mavjud:

A va B kesmadagi nuqtalar to'plami. Bular sanoqli bo'lmagan

to'plamdir.

Akslantirishlar tushunchasining boshlang'ich sinf matematika

kursida tutgan o'rni.

To'plamlar orasidagi o'zaro bir qiymatli moslik tushunchasi

hayotda ko'p uchraydi. Boshlang'ich sinflarda bu tushunchadan ko'p

foydalanamiz. Turlicha ikkita to'plam elementlarini taqqoslashda ham

akslantirishning uchinchi turidan ko'proq foydalanishga to'g'ri keladi.

Masala: Vali 8 ta to'rtburchak yasadi, Vohid esa 5 ta beshburchak yasadi,

Vohid Validan nechta kam beshburchak yasadi ?

Bu masalani echish uchun Valining yasagan to'rtburchaklarining

sonidan Vohidning yasagan beshburchaklarining sonini ayirish kifoya.

Lekin bu usulni hali bilmagan I sinf o'quvchisi Valining yasagan

to'rtburchaklarini terib chiqadi va Vohidning yasagan beshburchaklarini

to'rtburchaklar ustiga bittadan qo'yib chiqadi. Ortib qolgan

to'rtburchaklarning sonini sanaydi 3 ta. Demak, Vohid Validan 3 ta kam

beshburchak yasagan.

Masalani bu usul bilan echish uchun ham akslantirishlarga doir nazariy

bilimlar o'qituvchi tomondan berilishi kerak.

Bu masalaning echish usuli akslantirishning 2 chi turi, ya'ni ichida

akslantirishga misol bo'ladi…

N A Z O R A T U CH U N S A V O L L A R :

1. Funktsional moslik nima?

2. Akslantirish deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring

3. Ustiga, ichida va o'zaro bir qiymatli akslantirishlar ta'riflarini keltiring.

4. O'zaro bir qiymatli akslantirishga misollar keltiring.

5. Qanday to'plamlarga sanoqli to'plamlar deyiladi?

6. Boshlang'ich sinf matematika darsligida akslantirishlarga oid

mashqlardan misollar keltiring?

А Д А Б И Ё Т Л А Р

1. Л.П.Стойлова, А.М.Пишкало. «Бошлангич математика курси

асослари» Тошкент «Укитувчи» 1991й.

2. Н.Я.Виленкин, А.М.Пишкало, В.В.Рождественская,

Л.П.Стойлова Математика М. «Просвещение» 1977.

3. А.А.Столяр, Л.П.Лелчук Математика «Высшая школа» Минск

1976

MAVZU: A L G O R I T M L A R

REJA:

1) Algoritm tushunchasi.

2) Algoritmning asosiy xossalari.

3) Algoritmning berilish usullari.

4)Boshlang'ich sinflarda algoritmning qo'llanilishi.

Tayanch iboralar:"ALGORITM", algoritmning asosiy xossalari:

diskretlilik ,tushunarlilik, aniqlik,ommaviylik,natijaviylik;

algoritmning berilish usullari.

Algoritm so'zi va tushunchasi 19-asrda yashab ijod etgan buyuk

bobokalonimiz Muhammad al-Xorazmiy nomi bilan uzviy bog'liq.

Algoritm so'zi al-Xorazmiyning arifmetikaga bag'ishlangan asarining

dastlabki betidagi "DIXIT ALGORITMI" (DEDIKI – al-Xorazmiyning

lotincha ifodasi) degan jumlalardan kelib chiqqan desa bo'ladi.

Al-Xorazmiy birinchi bo'lib o'nlik sanoq sistemasining printsiplarini

va unda turli amallar bajarish qoidalarini asoslab beradi. Bu esa,

hisoblash ishlarini ixchamlashtirish va osonlashtirish imkonini

beradi,chunki bu bilan o'sha davrda qo’llash rasm bo'lgan rim raqamlari

va sonlarni so'z orqali yozib bajarishdagi noqulayliklar bartaraf etildi.

Dastlab algoritm deyilganda o'nlik sanoq sistemasidagi sonlar ustida

turli arifmetik amallar bajarish qoidalari tushunib kelingan.

Demak,al-Xorazmiyning ilmiy asari fanga algoritm tushunchasining

kiritilishiga sabab bo'ldi. Hozirgi kunda algorim tushunchasi juda keng

manoda ishlatiladi.Kundalik hayotimizda bizni o'rab olgan algoritmlar

shunchalik ko'p va xilma-xil bo'lsada, biz ularning turlarini ajrata

olishimiz, xususiyatlari hamda tasvirlash va ishlash usullarini bilishimiz

lozim. Algoritmlar ham asosiy tushunchalardan hisoblanadi, shuning

uchun uning tarifi yo’q.Biroq biz algoritmning mohiyatini aniq va

qatiyroq tushuntirishga harakat qilamiz.

Algoritm deganda, biror maqsadga erishishga yoki qandaydir

masalani yechishga qaratilgan ko'rsatmalarning (buyruqlarning) aniq

tushunarli, chekli hamda to'liq tizimi tushuniladi.Algoritmlarga misol

sifatida taomlar tayorlash retsepturalarini, formulalarni, turli avtomatik

qurilmalarni (video magnitofon, kir yuvish mashinasi: mexanik yoki

elektron o'yinchoqlarni) ishlatish bo'yicha yo'riqnomalarni , sport

musobaqalari yoki ko'cha harakati qoidalarini keltirishimiz mumkin.

Misol: Bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uch nuqta(A,B,C) orqali

o'tuvchi aylanani yasash algoritmi :

1) A, B va C nuqtalar to'g'ri chiziqlar bilan tutashtirilsin.

2) AB kesmaga uning o'rtasidan perpendikulyar to'g'ri chiziq o'tkazilsin.

3) BC kesmaga uning o'rtasidan perpedikulyar to'g'ri chiziq o'tkazilsin.

4) Perpendikulyarlarning kesishish nuqtasi 0 deb belgilansin.

5) Markazi 0 nuqtada va radiusi 0A ga teng bo'lgan aylana chizilsin.

Demak, ishni yani qo'yilgan masalani bajarishga mayda elementar

ishlarini malum ketma-ketlikda ijro etish orqali erishiladi.Bundan

ko'rinib turibdiki, har bir ish algoritmning qanday bajarilishidan

iboratdir.

Algoritmlarni ikki guruxga ajratish mumkin.

1-gurux: Bunda algoritmning ijrochisi faqat inson bo'lishi

mumkin,(masalan, palovni faqatgina inson pishira oladi)

2-gurux: Bunda algoritmlarning ijrochisi ham inson, ham EHM bo'lishi

mumkin.( faqat aqliy mehnat bilan bog'liq bo'lgan masalalar) Biror

sohaga tegishli masalani echish algoritmini tuzish algoritm tuzuvchidan

shu sohani mukammal bilgan holda, qo'yilgan masalani chuqur tahlil

qilishni talab etadi.Bunda masalani yechish uchun kerak bo'lgan

ishlarning rejasini tuzish muhim ahamiyatga ega. Shuningdek, masalani

yechishda ishtirok etadigan ob’ektlarning qaysi boshlang'ich ma’lumot

va qaysilari natijaligini aniqlash, ular o'rtasidagi bog'lanishni aniq va

to'la ko'rsata bilish yoki dastur tuzuvchilar tili bilan aytganda, masalaning

ma’lumotlar modelini bilish lozim.

ALGORITMNING ASOSIY XOSSALARI.

Ma’lum bo'ldiki, algoritm ko'rsatmalar tizimidan iborat ekan.

Ko'rsatmalarning mazmuni, kelish tartibi, qo'llanish doirasi va olinadigan

natijadan kelib chiqqan holda algoritmning beshta asosiy qoidasi bilan

tanishib chiqamiz.

1. DISKRETLILIK.-Bu xossaning mazmunini algoritmlarning doimo

chekli qadamlaridan iborat qilib bo'laklash imkoniyati

mavjudligida.Yani uni chekli sondagi oddiy ko'rsatmalar ketma-ketligi

shaklida ifodalash mumkin.Agar kuzatilayotgan jarayonni chekli

qadamlardan iborat qilib bo'laklay olmasak, uni algoritm deb bo'lmaydi.

2. TUSHUNARLILIK. Algoritmning ijrochisi haqida dastdabki

misoldayoq to'xtaldik.Biroq shuni aytish kerakki, algoritmning ijrochisi

hamma vaqt inson bo'lavermaydi.Choy damlashni,kompyuterni

ishlatishni yoki boshqa yumushlarni bajarishni faqat odamga emas, balki

robotga ham buyurish mumkin.

Biz kundalik hayotimizda berilgan algoritmlar bilan ishlayotgan

elektron soatlar , mashinalar, dastgohlar, kompyuterlar,turli avtomatik va

mexanik qurilmalarni kuzatamiz.

Ijrochiga tavsiya etilaetgan ko'rsatmalar uning uchun tushunarli

mazmunda bo'lishi shart.Aks holda ijrochi oddiygina amalni ham bajara

olmaydi. Undan tashqari ijrochi har qanday amalni bajara olmasligi ham

mumkin.Har bir ijrochining bajara olishi mumkin bo'lgan ko'rsatmalar

yoki buyruqlar ma’lum va mavjud.U ijrochining ko'rsatmalar tizimi yoki

sistemasi deyiladi. Demak, ijrochi uchun berilayotgan har bir

ko'rsatma ijrochining ko'rsamalar tizimga mansub bo'lishi kerak.

Ko'rsamalarni ijrochining ko'rsatmalar tizimiga tegishli bo'ladigan qilib

ifodalay bilishimiz muhim ahamiyatga ega.

MASALAN, quyi sinflarning alochi o'quvchisi "son kvadratga

oshirilsin" degan ko'rsatmani tushunmasligi natijasida bajara olmaydi,

lekin “sonning o'zi- o'ziga ko'paytirilsin" shaklidagi ko'rsatmani

bemalol bajara oladi Chunki u ko'rsatma mazmunidan ko'paytirish

amalini bajarish kerakligini anglaydi.

3. ANIQLIK. Ijrochiga berilayotgan ko'rsatmalar aniq mazmunda

bo'lishi zarur.Chunki ko'rsatmadagi noaniqliklar mo'ljaldagi maqsadga

erishishga olib kelmaydi.

Odam uchun tushunarli bo'lgan " 3-4 marta silkitilsin"," 5-10 daqiqa

qizdirilsin", "1-2 qoshiq solinsin" kabi noaniqliklar yani ko'rsatmalar

robot yoki kompyuterni qiyin ahvolga solib qo'yadi. Bundan tashqari

avval takidlaganimizdek, ko'rsatmalarning qaysi ketma-ketlikda

bajarilishi ham muhim ahamiyatga ega. Demak, ko'rsatmalar aniq

berilishi va faqat algoritmda ko'rsatilgan tartibda bajarilishi shart ekan.

4.OMMAVIYLIK. Har bir algoritm mazmuniga ko'ra bir turdagi

masalalarning barchasi uchun ham o'rinli bo'lishi kerak. Yani masaladagi

boshlang'ich malumotlar qanday bo'lishidan qatiy nazar , algoritm shu

xildagi har qanday masalani echishga yaroqlidir.

MASALAN:Ikki oddiy kasrning umumiy maxrajini topish algoritmi,

kasrlarni turlicha o'zgartirib bersangiz ham ularning umumiy

maxrajlarini aniqlab beraveradi.

5.NATIJAVIYLIK.Har bir algoritm chekli sondagi qadamlardan so'ng

albatta natija berishi shart. Bajariladigan amallar ko'p bo'lsa ham baribir

natijaga olib kelishi kerak.Chekli qadamdan so'ng qo'yilgan masala

echimga ega emasligini aniqlash ham natija hisoblanadi.Agar

ko'rilayotgan jarayon cheksiz davom etib natija bermasa, uni algoritm

deb atay olmaymiz.

ALGORITMLARNING BERILISH USULLARI

Algoritmlarning berilish usullari xilma-xildir, biz shulardan ko'p

uchraydiganlari bilan tanishamiz:

1. Algoritmlarning so'zlar bilan ifodalanishi: Ushbu holda ijrochi uchun

beriladigan har bir ko'rsatma jumlalar orqali buyruq mazmunida beriladi.

2. Algoritmning formulalar yordamida berilishi:Algoritmning formulalar

bilan berilish usuli matematika, fizika, kimyo, kabi aniq fanlarni

o'rganishda ko'plab foydalaniladi Bu usulni ba'zan analitik ifodalash ham

deyiladi.

3.Algoritmning jadval ko'rinishida berilishi: Algoritmni bu turda

tasvirlanishidan ham ko'p foydalanamiz. MASALAN, maktabda qo'llanib

kelinayotgan to'rt xonali matematik jadvallar yoki turli lotoreya,

zayomlarning yutuqlar jadvallari. Funktsiyalarning grafiklarini chizishda

ham algoritmlarning qiymatlar jadvali ko'rinishlaridan foydalanamiz.

4.Algoritmlarning dastur shaklida ifodalanishi: Millionlab

kompyuterlarning keng tarqalib ketishi algoritmlarning dastur tarzidagi

tasvirining keng ommalashib ketishiga turtki berdi. Chunki

kompyuterlar doimo dasturlar yordamida boshqariladi.

5. Algoritmlarning algoritmik tilda tasvirlanishi: Algoritmik til-

algoritmni bir xil va aniq ifodalash, bajarish uchun qo'llaniladigan

belgilash va qoidalar majmui.Algoritmik tillar dasturlash tillariga

nisbatan ancha kam ishlatilsa ham, ularning algoritmlash asoslarini

o'rganish sohasidagi ahamiyatni tan olish zarur.

6. Algoritmlarning grafik shaklda tasvirlanishi: Algoritmning bu usuli

bizga avvaldan tanish, chunki matematika kursida chizilgan grafiklarning

ko'pchiligi algoritmlarning grafik usulda berilishiga misol bo'ladi.

ALGORITM TURLARI

1) Chiziqli algoritmlar - asosan hech qanday shart tekshirilmaydigan va

tartib bilan faqat ketma-ket jarayonlardir.

2)Tarmoqlanuvchi algoritmlar - shartga muvofiq bajariladigan

ko'rsatmalar bilan tuziladigan algoritmlardir.

MISOL: Berilgan ikki a va b sonning qaysi biri katta ekanligini aniqlab

beruvchi algoritm tuzing.

1) agar a > b bo'lsa, natija deb a olinsin va 3- bandga o'tilsin.

2) natija deb b olinsin.

3) tugallansin.

3. Takrorlanuvchi algoritmlar:shart asosida algoritmda takrorlanish yuz

beradigan jarayonlar ham ko'plab uchraydi. Masalan, Yildagi fasllarning

har biri bir xilda takrorlanib kelishi , har haftada bo'ladigan darslarning

kunlar bo'yicha takrorlanishi.Bunday algoritmlarni takrorlanuvchi yoki

siklli algoritmlar deyiladi.

MISOL, Ikkita n va m sonning eng katta umumiy bo'luvchisini topish

algoritmi (Yevklid algoritmi).

1)Ikkala son solishtirilsin, agar ular teng bo'lsa, u holda ularning biri

natija deb olinsin va 5- bandga o'tilsin:

2)Sonlardan kattasi aniqlansin:

3)Shu katta son o'zi bilan kichik sonning ayirmasiga almashtirilsin:

4)Algoritm boshidan boshlansin:

5)Tugallansin.

Boshlang'ich sinflarda algoritmning qo'llanilishi:

Boshlang'ich sinflarda amallarni bajarish ketma-ketligi ham algoritmdir.

a) Agar ifoda faqat qo'shish va ayirish amallaridan iborat bo'lsa, amallar

berilgan tartib bilan bajariladi.(chapdan o'ngga)

MISOL: 380-250+200-100=230

1) 380-250=130

2) 130+200=330

3)330-100=230

b) Agar ifoda ko'paytirish va bo'lish amallaridan iborat bo'lsa, amallar

ketma-ket bajariladi.(chapdan o'ngga)

MISOL: 240:60*12:8=6

1) 240:60=4

2) 4*12=48

3) 48:8=6

V) Agar ifoda har xil arifmetik amallardan iborat bo'lsa, avval ketma-ket

ko'paytirish yoki bo'lish amallari bajariladi.(chapdan o'ngga) keyin

qo'shish va ayirish amallari (chapdan o'ngga) bajariladi.

MISOL: 520-400:80*20=420

1) 400:80=5

2) 5*20=100

3) 520-100=420

G) Agar ifodada bir yoki bir nechta qavslar bo'lsa, dastlab qavsdagi

amallar keyin qolgan amallar bajariladi.

MISOL: (340+60)-(420-90)=70

1) 340+60=400

2) 420-90=330

3) 400-330=70

Boshlang'ich sinf matematika darslarida quyidagi kabi sodda algoritmlar

qo'llaymiz.

1.Qo’shish algoritmi. (o'nli sanoq sistemasida)

1)Ikkinchi qo'shiluvchilarni xona birliklariga mos keladigan holda

birinchi qo'shiluvchi tagidan yozamiz.

2) Birliklarni qo'shamiz: Agar yig'indi undan kichik bo'lsa,javobda

birliklar xonasiga yozamiz va keyingi o'nlik xonasiga o'tamiz.

3) Agar yig'indi 10 dan katta yoki teng bo'lsa, 10+So kabi tasavvur qilib

( So- bir xonali son) So ni birlar xonasiga yozamiz va qo'shiluvchining

o'nliklariga 1 ni qo'shamiz, so'ng o'nliklar xonasini qo'shishga o'tamiz.

4) Yuqoridagi tasdiqni o'nliklar bilan, so'ngra yuzliklar bilan va hokazo

takrorlaymiz.Hamma xona birliklari qo'shilgandan so'ng tugatamiz.Xuddi

shuning kabi ayirish, ko'paytirish va bo'lish algoritmini tuzib chiqishimiz

mumkin.

NAZORAT UCHUN SAVOLLAR:

1. Algoritm tushunchasini izohlang.

2. Algoritmlarni qanday guruhlarga ajratish mumkin?

3. Algoritmlarning qanday berilish usullarini bilasiz?

4. Algoritmlarning qanday turlarini bilasiz?

5. Boshlang'ich sinflarda algoritm tushunchasini qo'llanishiga

1. doir misollar keltiring.

ADABIYOTLAR:

1. А.Сатторов, Б.Курбонбоев. Информатика

ва хисоблаш

техникаси асослари. Тошкент.

2. А.А.Абдукодиров, Т.Р.Азларов. Информатика ва хисоблаш

техникаси асослари. (8-синф учун дарслик).

3. «Начальная школа», «Бошлангич таълим» журнал маколалари.

MAVZU: BINAR ALGEBRAIK OPERATSIYALAR VA

ALGEBRALAR.

REJA:

1. Algebraik operatsiya tushunchasi va uning xossalari.

2. Neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar.

3. Gruppa, halqa va maydon tu shuchalari

TAYANCh IBORALAR: Algebraik operatsiya (amal) , neytral,

simmetrik, yutuvchi elementlar, gruppa, halqa, maydon, kommutativ

gruppa, gruppoid.

1.Maktab matematika kursida sonlar ustida har xil operatsiyalar

bajariladi: qo'shish, ayirish, ko'paytirish va bo'lish kabilar. Har bir

operatsiyani bajarish natijasida sonlar yana hosil bo'ladi. Masalan,

5+9=14, 5 * 9= 45* 5-9 Natural sonlar to'plamida aniqlangan emas. Agar

operatsiya (ayirish) butun sonlar (Z) to'plamida berilsa, aniqlangan,

ya'ni 5-9=-4 nihoyat 5:9 Q - to'plamida esa aniqlangan. Demak, har bir

operatsiyani bajarishda 2 ta element uchun shu to'plamdan 3 -elementni

topdik.

Boshqacharoq qilib aytganda, biror X to'plamdan - olingan har bir

tartiblangan juftga shu to'plamdan bitta element mos keltirildi. Bunday

moslik algebraik operatsiya deyiladi. Endi umumiy ta'rif beramiz.

TA'RIF. Agar X to'plamdan olingan har bir (x, y) ga, yana shu

to'plamdan z element mos kelsa, u holda bu moslik X da berilgan binar

algebraik operatsiya deyiladi, ya'ni (

(x,y)єX,

z єX)[(x,y)=z].

Misol. qo'shish N da algebraik operatsiya bo'ladi. Haqiqatan ham, (

(x,y)

N) (a+b=c).

TA’RIF. Agar X to'plamdan olingan ba'zi (x,y) - juftga yana shu

to'plamdan bitta z element mos kelsa, u holda bu moslik qisman

algebraik operatsiya deyiladi, ya'ni (

(x,y) єX X,

X)(x,y)=z).

Masalan, ayirish va bo'lish N da qisman algebraik operatsiya bo'ladi.

TA'RIF. Agar X to'plamdan olingan istalgan x,u,z elementlar uchun

(x*y)*z =x*(y*z) shart bajarilsa, u holda "*" operatsiyasi assotsiativ

deyiladi, ya'ni (

x, y,z

X)(x*y)*z=x*(y*z)).

Masalan, "+" N da assotsiativ algebraik operatsiyadir. Chunki ("a,b,c

N) ((a+b)+c q a +(b+c)).

TA'RIF .Agar X dan olingan istalgan x,y elementlar uchun x*y=y*x

shart bajarilsa, u holda (*) - kommutativ deyiladi. Qisqacha: ("x,

Î

X)(x*y=y*x) kabi yoziladi. Masalan: (·) - N da kommutativdir, chunki

(

a,b,c

N) (a*b=b*a).

TA'RIF.Agar X dan olingan istalgan x,y,z elementlar uchun

x*(y.z)=(x*y).(x*z) shart bajarilsa, u holda (*) operatsiya (·) ga

nisbatan distributiv deyiladi, ya'ni qisqacha(

x,y,z,

X)(x*(y.z)=(x*y)(x*z)) yoziladi.

Masalan, N da ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv bo'ladi.

Xaqiqatdan (

a,b,c

N) (a*(b+s) = a*b+a*s).

TA'RIF Agar X dan olingan istalgan x, y lar uchun shunday bir a

topilib x*a=y*a dan x=y, kelib chiqsa, u holda (*) operatsiya

qisqaruvchan deyiladi, ya'ni qisqacha (

x,y

X)(a*x=a*y

x=y) kabi yoziladi. Masalan, a+x=a+y

x=y demak "+" qisqaruvchan

operatsiya.

2. TA'RIF. Agar istalgan x

X uchun, shunday e

X topilsaki, natijada

xTe=eTx=x shart bajarilsa, u holda e ga-"T" operatsiyasi uchun neytral

element deyiladi.

qisqacha (

X) (xTe=eTx=x) kabi yoziladi.

TA'RIF Agar X to'plamda berilgan (*) operatsiyaga nisbatan e

X

neytral element bo'lsa va x*x

*x=e shart bajarilsa, u holda x

Î

X

simmetrik element deyiladi.

Masalan,- a element a ga qo'shishga nisbatan simmetrik bo'ladi, chunki

a+(-a)=0.

TA'RIF . Agar X - to'plamda berilgan (*)ga nisbatan a*e=e*a=e

shart bajarilsa, u holda e -yutuvchi element deyiladi.

Masalan, 0 element, ko'paytirishga nisbatan yutuvchidir 0*a=a*0=0.

3.TA'RIF . Agar X to'plamda binar algebraik operatsiya berilgan bo'lsa, u

holda X to'plam gruppoid deyiladi.

TA'RIF.Assotsiativ operatsiya berilgan gruppoid assotsiativ,

kommutativ operatsiya berilgan gruppoid kommutativ gruppoid deyiladi.

Ta'rif. Agar gruppoid assotsiativ bo'lsa, u holda yarim gruppa

deyiladi.

TA'RIF.Agar A neytral elementga ega bo'lgan yarim gruppada

istalgan a element uchun simmetrik element mavjud bo'lsa, u holda A

to'plam gruppa deyiladi.

Misol Z to'plam qo'shishga nisbatan gruppa tashkil qiladi.

Haqiqatdan ham:

1. Z da "+" assotsiativ algebraik operatsiya

2. 0

Z,"+" uchun neytral element mavjud.

3.Simmetrik element ham mavjud, a+(-a)=0

Ta'rif. G to'plam "*" operatsiyasiga nisbatan gruppa bo'lsa va a*b=b*a

shart bajarilsa, u holda G kommutativ yoki Abel gruppasi deyiladi.

Ta'rif. Agar X to'plamda ikkita binar algebraik operatsiya (+,*) berilgan

bo'lib, quyidagi shartlar bajarilsa:

1) X qo'shishga nisbatan kommutativ gruppa;

2) Ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv, ya'ni

(a*(b+c)=a*b+a*c (b+c)*a=b*a+c*a bo'lsa, u holda X to'plam halqa

deyiladi.

Misol. Z to'plam halqadir.

Chunki 1) Z da qo'shish va ko'paytirish algebraik operatsiya;

2) Z qo'shishga nisbatan kommutativ gruppa;

3) Z da ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv.

Ta'rif. Agar M halqaning noldan tashqari barcha elementlari

ko'paytirishga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qilsa, u holda M-

maydon deyiladi.

Misol Q ratsional sonlar to'plami maydondir.

Chunki: 1) Q halqa kommutativ.

3)Ko'paytirishga nisbatan kommutativ gruppa (nolsiz).

NAZORAT UCHUN SAVOLLAR:

1) Algebraik operatsiya nima? Uning qanday xossalari bor?

2) To'plamning qanday elementlari algebraik operatsiyaning neytral,

yutuvchi, simmetrik elementi deyiladi? Misol keltiring.

3) Halqa deb nimaga aytiladi? Qanday halqa kommutativ halqa bo’ladi?

4) Qachon halqa maydon tashkil qiladi?

99

MUNDARIJA

Mavzularning taxminiy taqsimoti………………………………………. 4

To’plam tushunchasi. To’plamning berilish usullari…………………….5

To'plam osti. Eyler-Venn doiralari………………………………………8

To'plamlar kesishmasi va birlashmasi. Ularning xossalari…

…………..................................................................................................12

To'plamlar ayirmasi,to’ldiruvchi to’plam osti va uning xossalari………15

To'plamlarni o’zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish…………………16

To'plamlarning dekart ko’paytmasi. Kortejlar……………………….. 21

Kombinatorikaning yig’indi va ko’paytma qoidalari…………… ……. 24

O’rinlashtirishlar va o’rin almashtirishlar……………………… ……. 28

Guruhlashlar. Paskal uchburchagi. Nyuton binomi formulasi… …… .31

Matematik tushunchalar…………………… ………………………… 36

Mulohazalar va ular ustida amallar……………………………………..39

Predikatlar va ular ustida amallar………… …………………………. 47

Teoremalar tuzilishi.Teorema turlari……………………………………60

Binar moslik tushunchasi.Moslik grafi va grafigi………………… … 67

To'plamda munosabat va uning xossalari…………………………… . 74

Akslantirishlar……………………………………………………… . .. 83

Algoritmlar………………………………………………………… … 91

Binar algebraik operatsiyalar va algebralar………………………….. 96

100

__________________________________________________________________________________________________________________________'>QAYDLAR UCHUN

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

Document Outline

Masalan: 3!= 1 · 2 · 3= 6
Agar 0≤k≤m bo'lsa, u holda
Bu erda 1, 2, 1-sonlar jadvaldagi 3-qator sonlarni tashkil etadi, ya'ni
- R
- R
- A
  - R
    - A
MULOHAZALAR IMPLIKATSIYASI
A→B
- KO'P O'RINLI PREDIKATLAR
- PREDIKATLAR USTIDA AMALLAR
- M I S O L V A M A S A L A L A R
- NAZORAT SAVOLLARI
MAVZU: TO'PLAMDA MUNOSABAT VA UNING
- TARTIB MUNOSABATI
  - Teskari akslantirish
- SANOQLI TO’PLAMLAR
- MAVZU: A L G O R I T M L A R
- ALGORITM TURLARI
  - TA'RIF. Agar X to'plamdan olingan istalgan x,u,z elementlar uchun

Download 438.33 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:

1 2 3 4