Ma’ruza. Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar

Download 218.09 Kb.

bet	1/8
Sana	14.04.2023
Hajmi	218.09 Kb.
	#1357571

1 2 3 4 5 6 7 8

Bog'liq
23 mavzu

Adabiyotlar
Takrorlash uchun savollar

- ma’ruza. Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar

Reja:

Ortogonal vektorlar.
Ortogonal vektorlar sistemasi.
Ortogonal bazis.
Ortogonal vektorlar sistemasi.
Ortogonallash jarayoni.
Fazoostining ortogonal to‘ldiruvchisi.

Adabiyotlar:

Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y.
Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh.shk. 1979 g.

Kompleks sonlar maydoni ustida aniqlangan V vektorlar fazosi berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar V fazoning har bir juft x va y elementlariga ularning

skalyar ko’paytmasi deb ataluvchi yagona moslik uchun

(x, y)
haqiqiy son mos qo’yilib, bu

1) (x,

 ( y,

x) ;

2) (x  y,

 (x,

z)  ( y,
z) ;

3) (λx,
4) (x,

y)  λ (x,

 0

y),
λ  R ;

aksiomalar bajarilsa, u holda V vektorlar fazosiga skalyar ko’paytmali fazo deyiladi.
Yuqoridagi aksiomalardan skalyar ko’paytmaning quyidagi xossalari kelib chiqadi:
1⁰. (x, y  z)  ( y  z, x)  ( y, x)  ( z, x)  (x, y)  (x, z) ;

2⁰. (x, λ y)  (λ y, x)  λ( y, x)  λ(x, y) .

Ta’rif. Agar V fazoning istalgan

x  0
vektori uchun

(x, x)  0
bo’lsa, V

fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma xosmas skalyar ko’paytma deyiladi.

Ta’rif. Agar V fazoning istalgan x va y vektorlari uchun

(x, y)  0
bo’lsa,

V fazoda aniqlangan skalyar ko’paytma nol skalyar ko’paytma deyiladi.
Biz bundan keyin faqatgina xosmas skalyar ko’paytmaga ega bo’lgan fazolar bilangina shug’ullanamiz.

Ta’rif. Agar V fazoning istalgan bunday fazoga unitar fazo deyiladi.

x  0
vektori uchun

(x, x)  0
bo’lsa,

Ta’rif. Agar unitar fazoning ikkita x va y vektorlari uchun bo’lsa, u holda x va y vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi.
Ta’rif. Agar V fazoning

(x, y)  0

^a1 ^,^a2 ^,...,^an
vektorlar sistemasining istalgan ikkita elementi o’zaro ortogonal bo’lsa, u holda bu sistema ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
Teorema. Agar V xosmas skalyar ko’paytmali vektor fazo bo’lsa, u holda V fazoning nolmas vektorlaridan tuzilgan ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi.
Ta’rif. Agar ortogonal vektorlar sistemasi qaralayotgan fazoning bazisi bo’lsa, bunday sistema ortogonal bazis deyiladi.

Misol.

^e1 ^^(1,0,0),

^e2 ^^(0,1,0),

^e3 ^^(0,0,1)
sistema R³ fazoning ortogonl

bazisi bo’ladi.

Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar
R maydon ustida aniqlangan V_nfazoning ixtiyoriy
g ₁ , g ₂ ,..., g _n(1)

bazisiga asoslanib,

^e1 ^,^e2 ^,...,^en

ortogonal bazisni tuzish jarayoni bilan tanishamiz. Bu erda (1) dan (2) ni hosil

qilish jarayoni ortogonallash jarayoni deyilib, u quyidagidan iborat:

^e1 ^^g¹
deb

olamiz,

g ₁ 0
bo’lgani uchun

^e1 ^⁰
^bo’ladi.^Endi^e2

ⁿⁱ^e2 ^^g²^^α^g¹^^g²^^α^e1

shaklda olib, α sonni shunday aniqlaylikki, natijada

⁽^e1 ^,^e2 ⁾^⁽^e1 ^,^g²^^α^e1 ⁾^⁽^e1 ^,^g²⁾^^α⁽^e1 ^,^e1 ⁾^⁰
(e₁, e₂ )  0 , ya’ni (3)

bo’lsin.

^g¹^^e1 ^⁰^va

g ₂ 0
bo’lgani uchun

^e2 ^⁰
bo’ladi. (6) tenglikdan

_α__⁽^e1 ^,^g²⁾
⁽^e1 ^,^e1 ⁾

topiladi.
Endi

^e3 ⁿⁱ

^e3 ^^g³^^γ^e2 ^^β^e1

shaklda olib, β va γ larni shunday

tanlaylikki, natijada

⁽^e1 ^,^e3 ⁾^⁰^va

⁽^e2 ^,^e3 ⁾^⁰
bo’lsin, ya’ni

⁽^e1 ^,^g³^^γ^e2 ^^β^e1 ⁾^⁰^,⁽⁴⁾

⁽^e2 ^,^g³^^γ^e2 ^^β^e1 ⁾^⁰^,⁽⁵⁾
tengliklar bajarilsin. (4) va (5) tengliklardan
⁽^e1 ^,^g³⁾^^γ⁽^e1 ^,^e2 ⁾^^β⁽^e1 ^,^e1 ⁾^⁰^,

⁽^e2 ^,^g³⁾^^γ⁽^e2 ^,^e2 ⁾^^β⁽^e2 ^,^e1 ⁾^⁰

hosil bo’lib, bunda

⁽^e1 ^,^e2 ⁾^⁽^e2 ^,^e1 ⁾^⁰
ekanligini e’tiborga olsak,

_β__⁽^e1 ^,^g³⁾
⁽^e1 ^,^e1 ⁾
va γ

__⁽^e2 ^,^g³⁾
⁽^e2 ^,^e2 ⁾
lar kelib chiqadi.

Shu jarayonni oxirigacha davom ettirib, ortogonal bazisga kelamiz. Bu bazis quyidagi vektorlardan tuzilgan bo’ladi:

e  g ,

e  g

_⁽^e1 ^,^g²⁾__e_,

1 ₁2
² (e
1

1
^,^e1 ⁾

e  g

_⁽^e2 ^,^g³⁾__e

_⁽^e1 ^,^g³⁾_e

,... ,

3 ₃
⁽^e2
2
^,^e2 ⁾
⁽^e1
1
^,^e1 ⁾

e  g  _
ⁿ^¹⁽^ei ^,^g_n⁾
n _n

^^ei ^.

i 1 ⁽^ei ^,^ei ⁾

Takrorlash uchun savollar:

Skalyar ko’paytmaning xossalarini bayon eting.
Skalyar ko’paytmali vektor fazo deb nimaga aytiladi?
Xosmas skalyar ko’paytma deb nimaga aytiladi?
Nol skalyar ko’paytma deb nimaga aytiladi?
Unitar fazo deb nimaga aytiladi?
Ortogonal vektorlar deb nimaga aytiladi?
Ortogonal vektorlar sistemasi deb nimaga aytiladi?
Ortogonal bazis deb nimaga aytiladi?
Ortogonal vektorlar deb nimaga aytiladi?
Ortogonal vektorlar sistemasi deb nimaga aytiladi?
Ortogonal bazis deb nimaga aytiladi?
Ortogonal vektorlar sistemasi haqidagi teoremani bayon qiling.
Ortogonallash jarayonini bayon qiling.

ma’ruza. Evklid vektor fazolar. Vektor normasi va xossalari. Evklid fazolar izomorfizmi

Reja:

Evklid vektor fazo.
Vektorning normasi.
Vektor normasining xossalari.
Evklid fazolarining ortonormallangan bazisi.
Evklid fazolar izomorfizmi.

Adabiyotlar:

Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (257-262 - betlar).
Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh.shk. 1979 g. (str. 276

- 280).

V₂ fazoda berilgan ikkita a va b vektorlarning skalyar ko’paytmasi

(a, b)  a  b cos(a^ b)
formula orqali aniqlanadi. (1) formuladan



cos(a^ b)  ⁽^a^,^b⁾
(1)
(2)

topiladi. Bunda
(a^ b)
belgi a va b vektorlar orasidagi burchakni bildiradi.

Ta’rif. Haqiqiy sonlar maydoni ustida aniqlangan V unitar fazoga Evklid fazosi deyiladi.
Evklid fazoni E orqali belgilaylik.
Bu ta’rifga ko’ra biror V fazo Evklid fazosi bo’lishi uchun uning elementlari ustida quyidagi shartlar bajarilishi lozim:
1) (x, y)  ( y, x) (x, y V ) ;
2) (x, y  z)  (x, y)  (x, z) (x, y, z V ) ;