Ma’ruza. Ortogonal to‘ldiruvchi va ortogonal proeksiyalar

Ta’rif. +

orqali belgilanadi.
miqdor


a V
vektorning normasi (uzunligi) deyiladi va

Ta’rif. Agar
a  1

bo’lsa, a normallangan vektor deyiladi.

Agar a , b - Evklid fazosining ixtiyoriy vektorlari va vektorning normasi quyidagi xossalarga ega:
λ  R
uchun

1⁰.
 0 (
 0  a  0) ;

2⁰. λa  λ ;

3⁰.



(a, b)  
(Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi);

4⁰.
a  b  
(uchburchak tengsizligi).

Ta’rif. Evklid fazosining har biri normallangan
^a1 ^{, a} 2 ^{,..., a}n ⁽³⁾
ortogonal vektorlar sistemasiga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi.
Ta’rif. Agar (3) sistema bazis tashkil etsa, unga Evklid fazosining ortonormallangan bazisi deyiladi.

Misol.

^e1 <sup> (1,0,0),


e</sup> 2 <sup> (0,1,0),


e</sup> 3 ^{ (0,0,1)}
uch o’lchovli Evklid fazosining

ortonormallangan bazisi bo’ladi. Haqiqatan,

^(e1 ^{, e} 2 <sup>)  0,



(e</sup>1 ^{, e} 3 <sup>)  0,


(e</sup> 2 ^{, e}3 ^{)  0;
e}1 ^{ 1,
e}2 ^{ 1,
e}3 ^{ 1}
bo’ladi.

Demak,


^e1 ^{, e} 2 ^{, e} 3
sistema E fazoning bazisi ekan.

Teorema. Chekli o’lchovli Evklid fazosining istalgan bazisini ortonormallash mumkin.

Isboti.



^a1 ^{, a} 2 ^{,..., a}n
vektorlar sistemasi n o’lchovli E_n Evklid fazoning bazisi

bo’lsin. Bizga ma’lumki



^a1 ^{, a} 2 ^{,..., a}n
bazisni hamma vaqt ortogonallash mumkin.

Ortogonal bazisdagi har bir vektorni o’z normasiga bo’lib, quyidagi sistemani hosil qilamiz:

^a1 _,


^{a 2} , ... , ^an
(4)

V_n fazo Evklid fazosi bo’lgani uchun
^ei ^{ a}i
^{ва e} j ^{ a} j
vektorlar uchun

i j _
(e , e )  ^1,
агар
i  j
булса,


(5)

_0,
агар
i  j
булса,

tenglik bajariladi. Demak, (4) sistema ortonormallangan sistema ekan.

Takrorlash uchun savollar:

1. 
   Evklid fazo deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Vektorning normasi deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Vektor normasining xossalarini bayon qiling.
   
4. 
   Normallangan vektor deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   Ortonormallangan bazis deb nimaga aytiladi?
   

6. ma’ruza. Chiziqli akslantirishlar va chiziqli operatorlar.

Reja:

1. 
   Chiziqli akslantirishlar.
   
2. 
   Chiziqli operatorlar.
   

Adabiyotlar:

1. 
   Nazarov R.N., Toshpo’latov B.T., Do’sumbetov A.D. Algebra va sonlar nazariyasi. I qism. T.: O’qituvchi. 1993 y. (235-236 - betlar).
   
2. 
   Kulikov L.Ya. Algebra i teoriya chisel. M.: Vissh.shk. 1979 g. (str. 283 - 287).
   

Biz oldingi ma’ruzalarda vektor fazo tushunchasi bilan tanishgan edik. Endi turli vektorlar fazolari orasida qanday munosabatlar mavjudligini ko’raylik.
U vektor fazoning V vektor fazoga akslantirish ϕ bo’lsa, u holda
ϕ : U  V ko’rinishda belgilaylik. U vektor fazoning ixtiyoriy x elementiga ϕ
akslantirish yordamida V vektor fazodan mos keluvchi vektorni y deylik. Bu

moslik
ϕ : x  y ,
x ^ϕ  y ,
ϕ x  y ,


y  ϕ (x)
ko’rinishlarda belgilanadi.

Ta’rif. ℱ sonlar maydoni ustida aniqlangan U vektor fazoning V vektor fazoga akslantiruvchi ϕ akslantirish uchun ushbu
^{1. ϕ (x}1 ^{ x} 2 ^{)  ϕ ( x}1 ^{)  ϕ (x} 2 ^{) ,}
2. (x)  (x) (  F)
shartlar bajarilsa, u holda U vektor fazo V vektor fazoga chiziqli akslanadi deyiladi

U fazoni V fazoga chiziqli akslantirishlar to’plamini belgilanadi.
Hom(U ,V )
orqali

Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga akslantirish U fazoda aniqlangan
operator deyiladi.
Yuqoridagi ikkita ta’rifdan ko’rinadiki, operator chiziqli akslantirishning xususiy holi ekanligi.

Operatorlar
f ,ϕ,...
harflar bilan belgilanadi.

Ta’rif. U vektor fazoni o’z-o’ziga chiziqli akslantirish U fazoda aniqlangan chiziqli operator deyiladi.

ϕ chiziqli akslantirish ta’sirida


ϕ (x)  y

bo’lsa, u holda y vektor x

vektorning obrazi (tasviri), x vektor esa y vektorning proobrazi (asli) deb yuritiladi.

x U
bo’lganda


ϕ (x) V
vektorlar to’plami odatda ϕ akslantirishning

obrazi deb yuritiladi va
Jmϕ
yoki ϕU
orqali belgilanadi.

Misol. Agar


ϕ :α  α
akslantirish S kompleks sonlar maydoni ustida

chiziqli operator bo’ladi (Bunda α va α sonlar o’zaro qo’shma kompleks sonlar).

Ta’rif. U vektor fazoning ixtiyoriy
^x1 ^{va x} 2
elementlari va U da

aniqlangan ϕ operator uchun


^{ϕ (x}1 ^{ x} 2 ^{)  ϕ ( x}1 ^{)  ϕ (x} 2 ⁾
tenglik bajarilsa, u holda

ϕ ga U da aniqlangan additiv operator deyiladi.
Quyidagi xossalar o’rinli:

1⁰.
2⁰.
ϕ 0  0₁ ;
(-x)  (x)


(x  U);

3⁰.


ϕ(rx)  rϕ x
(r  Q) ;

4⁰.


^{ϕ (x}1 ^{ x} 2 ^{)  ϕ ( x}1 ^{)  ϕ (x} 2 <sup>)



(x</sup>1 ^{, x} 2 ^{ U) .}

Ta’rif. Agar λ ixtiyoriy son bo’lganda ham U fazoning ixtiyoriy x

elementi uchun
ϕ (λ x)  λϕ (x)
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda ϕ ga U da

aniqlangan bir jinsli operator deyiladi.
Ta’rif. Bir vaqtda bir jinsli va additiv bo’lgan operatorga chiziqli operator deyiladi.

ϕ operator chiziqli operator bo’lishi uchun U fazoning ixtiriy


^x1 ^{ва x} 2

elementlari va
₁, ₂  F
berilganda


^{ϕ (λ}₁ ^x1 ^{ λ}₂ ^x 2 ^{)  λ}₁^{ϕ (x}1 ^{)  λ}₂^{ϕ (x} 2 ⁾
tenglikning

bajarilishi zarur va etarli.
Bu mulohazani isbotlashda yuqoridagi ikkita ta’rifdan foydalaniladi.

Agar ϕ chiziqli operator bo’lsa, u holda ushbu
x_i U ,
λ_i  P


(i  1, n)
uchun

^{ϕ (λ1 x}1 ^{ λ2 x} 2 ^{ ...  λn x} n ^{)  λ1ϕ (x}1 ^{)  λ1ϕ ( x} 2 ^{)  ...  λnϕ ( x}n ⁾
tenglik o’rinli bo’ladi.
(1)

Bu mulohazada (1) tenglik matematik induktsiya printsipi asosida isbot qilinadi.

Ta’rif. Agar

x U

uchun


ϕ (x)  0
tenglik bajarilsa, u holda ϕ operatorga

nol operator deyiladi.
Nol operator ham chiziqli operator bo’ladi. (Isbotlang).

Ta’rif. Agar

x U

uchun
e(x)  x
tenglik bajarilsa, u holda e ga ayniy

(birlik) operator deyiladi.

Ta’rif. Agar

x U ,

λ  Р
uchun


ϕ (x)  λ x
tenglik bajarilsa, u holda ϕ ga

o’xshashlik operatori deyiladi.
Demak, bu ta’rifdan ko’rinadiki,


λ  0

bo’lsa, o’xshashlik operatorining

nol operator,
λ  1
bo’lsa, o’xshashlik operatorining ayniy operator bo’lishi.

Ta’rif. Agar


x  (x₁ , x₂ ,..., x_n ) U
bo’lib,

(x)  (x₁, x₂ ,..., x_n )  (x₁, x₂ ,..., x_k )
(1  k  n)
bo’lsa, ya’ni ϕ operator n

o’lchovli fazodagi vektorni k o’lchovli fazodagi vektorga o’tkazuvchi operator bo’lsa, u holda ϕ ga proektsiyalovchi operator deyiladi.
Ta’rif. Agar U_n fazoning ixtiyoriy x vektori uchun f (x)  ϕ ( x)  (x)
tenglik bajarilsa u holda f ga ϕ va  operatorlarning yig’indisi deyiladi va u
ϕ    f orqali yoziladi.