Массанинг сақланиш қонуни. Узлуксизлик тенгламаси.

Маъруза№ 15
Массанинг сақланиш қонуни. Узлуксизлик тенгламаси. (Эйлер ва Лагранж координаталарида).

Индивидуал ҳажм учун массанинг сақланиш қонуни.

индивидуал ҳажм, унинг массаси -ўртача зичлик (1)

V_инд. ҳажмнинг массаси М=const. Бундан ва (1) дан

(2)

Энди массанинг сақланиш қонуни (2) ни индивидуал ҳажм бўйича олинган интегралдан вақт бўйича ҳосилани ҳисоблаш формуласидан (аввалги маърузада (15)-формула) фойдаланиб ёзсак, индивидуал ҳажм учун массанинг сақланиш қонунини оламиз:

_. (6)

Нейман масаласи ҳақида

Фазовий ҳажм V учун массанинг сақланиш қонуни қуйидагича ёзилади

ташқи тормал.
(7)

Бу ерда фазода фиксирланган V ҳажмдаги массанинг ўзгариши V нинг чегарасидан кирган ва чиққан масса ҳисобига ўзгаради.

Узлуксизлик тенгламаси.
(6) нинг иккинчи қўшилувчисини Гаусс-Острогадский формуласидан фойдаланиб ёзамиз



(6)
(6*)
Бунда ҳажм ихтиёрий ва интеграл остидаги ифода узлуксиз бўлгани туфайли
ёки (8)


(8*)
тенгламани- узлуксизлик тенгламасини (муҳитнинг ихтиёрий нуқтаси учун массанинг сақланиш қонунининг дифференциал кўриниши) оламиз.
Хусусий ҳол.
а) биржинсли муҳит
=0 ва
(9)
б) биржинсли эмас (ҳарбир зарранинг зичлиги ўзгармас, бироқ турли)
=0, ; (9*)


Лагранж координаталарида узлуксизлик тенгламаси.


Индивидуал ҳосила Эйлер координаталарида

кўринишга эга. Лагранж координаталарида эса индивидуал ҳосила
бўлгани учун - узлуксизлик тенгламаси (8)
(10)
кўринишда ёзилади.
Лагранж координаталаридаги узлуксизлик тенгламасининг бошқа кўринишлари.
Массаси га тенг кичик индивидуал ҳажмни қарайлик. Ундаги муҳитнинг зичлигиБ ошланғич ҳолатда унинг ҳажми , зичлиги ва актуал ҳолатда эса мос равишда ва бўлсин. Массанинг сақланиш қонунига кўра
Яъни (11)
Бу ерда ҳажмнинг нисбий ўзгариш коэффициенти:
-Грин ва Альманси тензорларининг инвариантлари. Бундан ва (11) дан Лагранж координаталаридаги узлуксизлик тенгламасининг қуйидаги эквивалент кўринишларини оламиз
ёки (12)
Агар кичик деформациялар қаралса, (12) ушбу
(13)
кўринишга эга бўлади.
Элементар ҳажмнинг қуйидаги
(14)
Ифодаларидан фойдаланиб,(11) дан Лагранж координаталаридаги узлуксизлик тенгламасининг яна бир кўринишини оламиз
(15)
Агар ҳаракат ( , ) д.к.с. да ўрганилаётган бўлса ва ҳаракат қонуни ,(бунда лагранж координаталари деб белгиланган)

(16)

Бундан ва (15) дан Лагранж координаталаридаги узлуксизлик тенгламасининг яна бир кўринишини оламиз.

(17)