Масъул муҳаррир: Файзиев Шохруд Фармонович, ю ф. д., доцент

17
NATURAL SONLARNI O’RGANISHDA DIOFANT TENLAMALARINI YECHISH 
USULLARIDAN FOYDALANISH.
Abduvaliyev Zokirjon Xusanboy o`g`li
Namangan viloyati Namangan shahar 
3-sonli DIMI matematika fani o’qituvchisi
Telefon [phone] 
[e-mail]
NATURAL SONLARNI O’RGANISHDA DIOFANT TENLAMALARINI YECHISH 
USULLARIDAN FOYDALANISH. 
Abduvaliyev Zokirjon Xusanboy o`g`li 
Namangan viloyati Namangan shahar 3-sonli DIMI matematika fani o’qituvchisi 
Telefon [phone]
[e-mail] 
Annotatsiya: Tezisda natural sonlarni o‘rganishda Diofant tenglamalarining ahamiyati 
ko’rsatib o’tilgan. Bu orqali masalada noma’lumlar soni tenglama sonidan ko’p bo’lgan hollarda 
yechish usullari ko’rsatilgan. Misollar tariqasida ayrimlari tezisda yoritib berilgan.
Kalit so’z: Natural sonlar tarixi, Diofant tenglamalar tarixi va ularni yechish usulari 
1. Natural sonlar . Natural sonlarni o’rganishda o’quvchilarga uning tarixini tanishtirish 
muhim ahamiyat kasb etadi. Sanash uchun natural sonlar ishlatiladi.
Har qanday natural sonni o’nta raqam: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 yordamida yozish mumkin. 
Bu raqamlarni ≪ 𝑎𝑟𝑎𝑏 ≫ raqamlari deb ham atashadi. Bizning sanash usulimiz va sonlar yozish 
usuli o’nli sanoq sistemasi deb ataladi. O’nli sanoq yozuv sistemasi Hindistonda 2000 yil avval 
paydo bo’lgan. Yevropada u buyuk yurtdoshimiz Muhammad Xorazmiy (al-Xorazmiy) (780-850 
yy.) ning arifmetikaga doir ishlari tufayli tarqalgan.
Bizgacha yetib kelgan eng qadimgi arifmetika bo’yicha ishlaridan biri 7- asrda yashagan 
Arman faylasufi va matematigi Ananiya Shirakatsining 
≪ 𝑆𝑎𝑣𝑜𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑣𝑎 𝑌𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟 ≫ darsligi hisoblanadi. O’nli alifbo sanoq sistemasi Kief Rusida 
tarqalgan edi. Rossiyada qadimda sonlarni ustiga (~) belgisi qo’yilgan slavyan alifbosi harflari 
yordamida yozishgan. 
2. Diofant tenglamalari. Natural sonlar arifmetikasini o’rganishda o’quvchilarga Diofant va 
uning nomi bilan ataluvchi tenglamalar haqida tarixiy ma’lumotlar berish va keyin mashqlar 
yechish jarayonida bunday tenglamalarni yechish usullarini bayon qilish lozim. 
Diofant tenglamalari deb yechimlari butun sonlarda topiladigan algebraik tenglama (yoki 
sistemaga) aytiladi. Muhimi shundaki, diofant tenglamalarida noma’lumlar tenglamalardan 
ko’proq bo’ladi, shuning uchun ularni aniqmas tenglamalar ham deb atashadi.
Tenglamalarni butun sonlarda yechish eng qadimgi matematik usullardan hisoblanadi. Bu 
soxa qadimgi Gretsiyada eng rivojlangan. Bizgacha yetib kelgan asarlardan eng asosiysi 
Diofantning ≪ 𝐴𝑟𝑖𝑓𝑚𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 ≫ kitobi bo’lib, u bunday tenglamalar va ularning sistemalari turli 
tiplarini o’z ichiga olgan. Diofantda bunday tenglamalarni 2-va 3-darajalarini tekshirishning 
dastlabki usullari qaralgan.
Eng soda Diofant tenglamasi
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 1 
Ko’rinishida bo’lib, bunda a, b –butun, o’zaro tub sonlar, cheksiz yechimlar to’plamiga ega 
(agar x
0
, y
0
yechim bo’lsa, u holda x=x
0
+bn, y=y
0
-an (n𝜖N) sonlar ham yechim bo’ladi) 
Diofant tenglamalariga yana bitta misol x
2
+y
2
=z
2
ko’rinishidagi tenglama bo’lib, uning 
butun musbat yechimlari tomonlari uzunliklari butun bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning 
katetlari uzunliklarini ifodalaydi va Pifagor sonlari deb ataladi. Barcha o’zaro tub Pifagor 
sonlarini x=m
2
-n
2
, y=2mn, z=m
2
+n
2
yordamida topish mumkin, bu yerda m va n o’zaro tub 
sonlar (m>0, n>0) 
1-misol: y
2
-x
2
=140 tenglamani natural sonlar to’plamida yeching 
Yechish: (y-x)(y+x)=140 tenglamani o’ng tomonida juft son, u holda chap tomonda 
ko’paytuvchilardan biri juft, lekin y-x juft son, y+x son ham juft son bo’la oladi. Bundan
�𝑦 − 𝑥 = 2𝑎
𝑦 + 𝑥 = 2𝑏 
Bu yerda 𝑎𝜖𝑁, 𝑏𝜖𝑁, y>x 
Bu sistemani yechib, 𝑎 ∙ 𝑏 = 35 shartni qanoatlantiruvchi barcha mumkin bo’lgan a, b natural 
sonlar juftligini topamiz (5;7), (7;5), (1;35), (35;1)

---

158
17
Bular orqali tenglamani javobini topish mumkin. 
2- misol: y
3
-x
3
=91 tenglamani barcha butun yechimlarini toping 
Yechish: y
2
+xy+x
2
>0 hamda 7va 13 o’zaro tub sonlar bo’lgani uchun tenglik quyidagi 
hollarda bo’lishi mumkin. 
�
𝑦 − 𝑥 = 91
𝑦
�
+ xy + 𝑥
�
= 1 �
𝑦 − 𝑥 = 1
𝑦
�
+ xy + 𝑥
�
= 91
�
𝑦 − 𝑥 = 13
𝑦
�
+ xy + 𝑥
�
= 7 �
𝑦 − 𝑥 = 7
𝑦
�
+ xy + 𝑥
�
= 13
Bu sistemalarni yechib tenglamani yechimlarini quyidagicha yozish mumkin: (5;6), (-6;-5), (-
3;4), (-4;3) 
 
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati: 
1. Ostonov Q. “Matematika darslarini tashkil etish texnalogiyalari” Uslubiy qo’llanma .-
Samarqand: SamDU nashri 2008 bet. 
2. Alimov Sh.A., Mirzaaxmedov M. A., Xolmuhamedov O. R. “9-sinfda algebra” 2-nashri. 
O’qituvchilar uchun qo’llanma. –T. O’qituvchi, 2003.-176 bet. 

---

159