Matematik analiz fanidan "hosiladan foydalanib tenglamalarni yechish" mavzusida yozgan

Kurs ishining maqsadi: Talabalarga matematik analizni o’qitishning an’anaviy talim metodi haqida umumiy ma'lumotlar va ularning o'ziga xos xususiyatlarini tushuntirish, ular yordamida dasturi tuzishni va uni o‘qiy olishni o‘rgatish orqali talabalarni matematik analiz fanlariga qiziqishlarini yanada oshirish.
Kurs ishining vazifasi: Bo’lajak matematik analiz o’qituvchilariga an’anviy talim metodi bo’yicha tayyorgarlik tizimi mazmunining nazariy va amaliy holatini o‘rganish va tahlil qilish; -talabalarga turli loyihalarni tasvirlashdagi o’ziga xos xususiyatlarni va ularning turlari haqida tushunchalar berish va takomillashtirish; - talabalarning mavzu yuzasidan bilim, ko'nikma va malakasini shakllantirish.
Kurs ishining ob’yekti: Oliy ta’lim tizimida “Matematika va informatika” bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalariga nazariy va amaliy ta’lim berish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Bo‘lajak pedagoglarni tayyorlash
bo‘yicha tahsil olayotgan talabalarning matematik analiz ilmini egallash
jarayonidagi ta’lim mazmuni va texnologiyasi.
Kurs ishining tuzilishi va tarkibi: Kurs ishi kirish, ikki bob, to’rt paragraf,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.


I BOB. ODDIY, CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

1. 
   Chiziqli differensial tenglama
   

1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x)
funksiya va uning u', u'’,.....,u(n) hosilalari orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan
tenglamaga aytiladi.
Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa,
u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta
o’zgaruvchilarning funksiyasi bo’lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning
eng yuqori tartibiga aytiladi.
3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki hosilai deb differensial
tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga
aytiladi.
Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko’rinishda
bo’ladi. y y tenglamaga ega bo’lamiz. Odatda, (2.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (2.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o’rinli :
Teorema. Agar (2.2) tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo’yicha
olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o’z ichiga oluvchi
biror sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0
shartnii qanoatlantiruvchi birgina y=(x) yechimi mavjud.
x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo’lishi kerak degan shart boshlang’ich
shart deyiladi:
y(x0)=y0
4 – ta’rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb
bitta ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorga bog’liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi
y=(x,с) funksiyaga aytiladi:
a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi;
b) x=x0 da y=y0 boshlang’ich shart har qanday bo’lganda ham shunday с=с0
qiymat topiladiki, y=(x,с0) funksiya berilgan boshlang’ich shartni qanoatlantiradi.
5 – ta’rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0
tenglik (1.1) differentsial tenglamaning umumiy hosilai deyiladi.
6 – ta’rif. Ixtiyoriy с - o’zgarmas miqdorda с=с0 ma’lum qiymat berish
natijasida y=(x,с) umumiy yechimdan hosil bo’ladigan har qanday y=(x,с0)
funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy hosila deyiladi.
7-ta’rif. (2.1) differensial tenglama uchun dy/dx=с=const munosabat
bajariladigan nuqtalarning geometrik o’rni berilgan differensial tenglamaning
izoklinasi deyiladi.
Agar differensial tenglamadagi noma’lum funksiya ikki va undan ortiq ko’p
argumentlarga bog’liq bo’lsa, u xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Bunday tenglamalarning nomidan ko’rinib turubdiki, ularda funksiyaning erkli argumentlari bo’yicha xususiy hosilalari qatnashadi.
Oddiy differensial tenglamalardagi kabi xususiy hosilali differensial
tenglamalar ham cheksiz ko’p yechimlarga ega. Bu yechimlarga umumiy
yechimlar deyiladi. Xususiy yechimlar umumiy yechimlardan ma’lum shartlar
asosida ajratiladi. Bu qo’shimcha shartlar tenglama qaralayotgan sohaning odatda
chegarasida beriladi.
Xususiy hosiladagi erkli o’zgaruvchilardan biri vaqt bo’lishi ham mumkin.
Bunday fizik va texnik masalalar amalda ko’p uchraydi. Qo’shimcha shartlar
sifatida bunday tenglamalar uchun vaqtning biror belgilangan qiymatida izlanuvchi
funksiyaning qiymatlari ishlatiladi. Masalan,shart boshlang’ich vaqt t=0 da (yoki
umuman t= t0 ,to =const) berilishi mumkin. Bunday shartga biz boshlang’ich shart
deymiz. Qo’shimcha shartlar soha chegarasida berilsa, bunday masalaga chegaraviy masala deyiladi.
Agar chegaraviy shartlar berilmasdan faqat boshlang’ich shart
berilsa,bunday masalaga xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun Koshi
masalasi deyiladi. Bunda masala cheksiz sohada qaraladi.
Masalada ham boshlang’ich, ham chegaraviy shartlar qatnashsa,bunday
masalaga aralash masalalar deyiladi. Bu yerda xususiy hosilali differensial tenglamalarning xususiy holi bo’lgan chiziqli tenglamalarni qaraymiz. Umumiy ko’rinishda ikkinchi tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli tenglama
kabi yoziladi.Bunda u =u ( x , y ) izlanuvchi funksiya, erkli o’zgaruvchilar,indeksdagi x va y lar u funksiyaning x vay bo’yicha hosilalarini
anglatadi. a,b,c,d,e,f,g koeffitsientlar umuman x,y va u ga bog’liq funksiyalar
bo’lishi mumkin. Agar ular o’zgarmas sonlardan iborat bo’lsa, (3.1) tenglama
o’zgarmas koeffisiyentli, x va y ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – o`zgaruvchi
koeffisiyentli va, nihoyat, x , y va u ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – kvazichiziqli
deyiladi. (3.1) tenglamaning tipi (turi) D b ac   2 4 diskriminantning ishorasi bilan aniqlanadi.
Agar D  0 bo`lsa, tenglama giperbolik, D  0 bo`lsa parabolik va
D  0 bo`lsa, elliptik tipga tegishli bo`ladi.
Tenglamaning tipini aniqlash muhim ahamiyatga ega, chunki bir xil tipdagi
har xil tenglamalar juda ko`p umumiy xususiyatlarga ega bo`ladi. Har xil tipga
tegishli tenglamalarning xususiyatlari bir-biridan keskin farq qiladi. Tenglama
o`zgaruvchi koeffisiyentli bo`lsa, qaralayotgan sohada uning tipi o`zgarishi
mumkin. Masalan, sohaning bir bo`lagida parabolik tipga ega bo`lgan tenglama
uning ikkinchi bo`lagida giperbolik tipga aylanadi. Bunday tenglamalarga
o`zgaruvchi tipli tenglamalar deyiladi. Matematik masalalarning qo`yilishi ham har
xil tipdagi tenglamalar uchun har xil bo`ladi.
Giperbolik tipga tegishli eng soda tenglama to`lqin tenglamasidir. U
ko`rinishga ega. Bunda u t x ( , ) izlanuvchi funksiya, u har xil masalalarda har xil
fizik ma’noga ega, t  vaqt, x  chiziqli koordinata, a2 -o`zgarmas koeffisiyent. Bu
tenglama yordamida ingichga torlar, har xil materiallardan ishlangan tayoqlar va
boshqa xildagi narsalarning ko`ndalang va bo`lama tebranishlari jarayonlarini
o`rganish mumkin. Quvurlarda qovushqoq suyuqliklarning nostatsionar harakati suyuqlik zichligi o`zgarmas bo`lganda tenglamani hosil qilamiz.
Ma’lumki, issiqlik tarqalish hodisasi Fur’ye qonuni asosida o`rganiladi.
Agar jism sirtiga o`tkaziladigan issiqlik ta’siri vaqt bo`yicha juda tez o`zgarsa va
jism har xil materiallar aralashmasidan iborat bo`lib, bu materiallar turli issiqlik
xossalariga ega bo`lsa, Fur’ye qonunidan chetlanish yuz beradi. Issiqlik oqimi
temperatura gradiyenti gradT ma’lum darajada o`zgarganda o`zining statsionar
holatiga darhol emas, ma’lum vaqt o`tgach erishadi. Bu o`tish vaqtining
davomiyligi relaksatsiya vaqti deb ataluvchi kattalik bilan aniqlanadi.
Umumlashgan Fur’ye qonuni ko`rinishda beriladi. Bunda h  o’zgarmas son, ( , , ) x y z - berilgan funksiya. Elliptik tipdagi tenglama (3.8) tenglamadan statsionar holda hosil bo`ladi: Bu tenglamaga Puasson tenglamasi deyiladi. Ko`rinishdagi ko`chirish tenglamasi deb ataluvchi tenglamani olamiz.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish usullari xuddi oddiy
differensial tenglamalardagi kabi bir necha guruhga bo`linadi: aniq usullar, taqribiy
usullar va sonli usullar. Aniq usullar bilan chiziqli xususiy hosilali tenglamalar sodda ko`rinishdagi chegaraviy va boshlang`ich shartlar bilan berilganda yaxshi natijalar olish mumkin. Bu guruhga o`zgaruvchilarni ajratish, tarqaluvchi to`lqinlar, manba funksiyalari, Laplas almashtirishlari va boshqa usullar kiradi.
Taqribiy usullar ham umumiy ko`rinishda berilgan masalalarni yechishda
bevosita ishlatilishi mumkin emas. Faqat xususiy hollardagina, masalaning ayrim
xususiyatlaridan foydalanib uni soddalashtirib taqribiy yechimlar olinishi mumkin.
Agar x0 bo‘lsa, (2) tenglikdan 0 va u0 bo‘lishi, agar u0 bo‘lsa, u holda (3) tenglikdan 0 ekanligi kelib chiqadi. Bulardan esa x0 da f’(u)+’(x)+ cheksiz kichik funksiya ekanligi kelib chiqadi, uni  bilan belgilaymiz.
Shunday qilib, y=f’(u)’(x)x+x tenglik o‘rinli. Bundan
= f’(u)’(x)+ va =f’(u)’(x) o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Bu esa y’= f’(u)’(x) ekanligini isbotlaydi.
Misol. y= funksiyaning hosilasini toping.
Yechish. Bu erda y=u⁴, u= . Demak, y’=(u⁴)’ ’= =4u³ =8 .
Amalda (1) tenglikni
yoki y_x’=y_u’u_x’
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va x(a,b) uchun f’(x)0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=, f(b)=. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [;] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga y0 orttirma beramiz. U holda x=(y) funksiya biror x=(y+y)-(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan x0, uzluksizligidan esa y0 da x0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra
, demak x_y’=’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va y(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
(4)
formula bilan ifodalanadi.
Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
1. y=x^ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi y=(x+x)^-x^=x^(( )^-1) ga teng va bo‘ladi. Ma’lumki, . Shuning uchun . Bundan funksiyaning x nuqtadagi hosilasi mavjud va y’=x^-1 bo‘ladi.
Demak, (x^)’=x^-1 va d(x^)=x^-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))^)’=(u(x))^-1u’(x), d((u(x))^)= (u(x))^-1u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), =3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra
y’=3(x²+1)²((x²+1)’=3((x²+1)²2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.
y=a^x (a>0, a1) ko‘rsatkichli funksiya uchun y=a^x+x -a^x=a^x(a^x-1) va .
Oddiy differensial tenglamalarning normal sistemasi uchun otishmalar
usulini qaraylik. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ixtiyoriy tartibli
differensial tenglama unga ekvivalent bo‘lgan oddiy differensial
tenglamalarning normal sistemasiga keltiriladi. Buni tushuntirish uchun
yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan m-tartibli oddiy differensial
tenglama uchun quydagi ikki nuqtali chegaraviy masalani misol qilib
keltiraylik:
bu yerda gi – funksiya bo‘lib, u(x) yechimning va uning hosilasining [a,b]
kesma oxirlaridagi qiymatlaridan bog‘liq.
Ushbu u1(х) = и(х), u2(х) = и'(х), ... , ит(х) = u(m-1)(х) almashtirish (1) ni quyidagi oddiy differensial tenglamalarning normal
sistemasi ko‘rinishida yozish imkonini berdi:
yoki vektor shaklida bu yerda m o‘lchovli vektor-funksiya. (2) chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin: masala yechimining birinchi komponentasi (1)-(2) chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi bo‘ladi. Xuddi shunday ixtiyoriy tartibli differensial tenglamalar sistemasini unga ekvivalent bo‘lgan tenglamalarning normal sistemasi bilan almashtirish mumkin. Buni shunday tushuntirish mumkinki, ko‘pgina standart usullar, ularning algoritmlari va ularga mos dasturlar (4) ga o‘xshash sistemalar uchun quriladi.
Ushbu u ' F (x,u) , G (u(a))  0, a  x  b, D(u(b))  0 (6)
oddiy differensial tenglamalar sistemasi uchun ikkinuqtali chegaraviy
masalani qaraymiz, bu yerda u , F - m o‘lchovli vektor-funksiyalar; G -
izlanayotgan u (x) yechim komponentasining x = a nuqtada qiymatidan
bog‘liq k o‘lchovli vektor; D - izlanayotgan u (x) yechim komponentasining x = b nuqtadagi qiymatidan bog‘liq m-k o‘lchovli vektor.
O‘q otish usuli bu chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish
bo‘lib, hosil bo‘lgan masalani yetarlicha aniqlikda yechish imkonini
beruvchi taqribiy usullar mavjudligida. Bunday keltirish shunday p1,... ,рт qiymatlarni topishki, ushbu ui(а) = pi , і = 1,...,m, а≤ х≤ b (7)
Koshi masalasining (x,pi,...,рт) yechimi (6) chegaraviy masalani ham
qanoatlantiradi. Ko‘rinib turibdiki, shunday pi , i = 1,2,...,т qiymatlarda
ushbu chegaraviy shartlar bajarilishi lozim. Bu yerdagi noma’lum pi, i = 1,2,...,т larni quyidagicha izlash mumkin. Dastlab ushbu k ta tenglamalar sistemasidan (umumiy holda ular nochiziqli, transcendent) m-k ta parametrik yechimlar oilasini topamiz (chegaraviy masala korrekt qo‘yilgan deb faraz qilinganligi uchun u mavjud). Faraz qilaylik, soddalik uchun yechimlar oilasini quyidagicha yozish mumkin bo‘lsin:bu yerda pi , i = k+1,...,т – ixtiyoriy o‘zgarmaslar (parametrlar).
Koshi masalasining yechimi ham (6) chegaraviy
masalaning yechimi bo‘ladi, agar quyidagi tenglik bajarilsa:
(m-k) ta noma’lum pi , i = k+1,...,т parametrlarni hisoblash uchun (mk)-tartibli (11) sistema «tikish» tenglamalari deb ataladi. Odatda bunday
tenglamalar Nyuton usuli bilan yechiladi.
Xuddi shunday amal bajarish mumkin, agar m ta noma’lumga nisbatan
ushbu (m-k) ta tenglamalar sistemasining k-parametrik yechimlari oilasini
quyidagicha yozish mumkin bo‘lsa bu yerda pi , i = k+1,...,т – ixtiyoriy o‘zgarmaslar. U holda ushbu
Koshi masalasining yechimi (х,р1,... ,pk) ham (6) chegaraviy masalaning
yechimi bo‘ladi, agar pi , i = k+1,...,т lar quyidagi «tikish» tenglamalarini
qanoatlantirsa:
Ma’lumki, yuqori tartibli bo‘lmagan tenglamalar sistemasini sonli
yechish osonroq, shuning uchun (11) yoki (14) «tikish» tenglamalarini
tanlash k yoki (m-k) ning kattaligidan bog‘liq. Shuni ta’kidlaymizki, hisob imkonini bersin.
Chiziqli chegaraviy masala uchun «tikish» tenglamasi ham chiziqli
bo‘ladi. Quyida chiziqli masalalar uchun o‘rinli bo‘lgan ularni qurish
uslublari bilan tanishamiz.
Faraz qilaylik, quyidagi chiziqli chegaraviy masalaning yechimini
topish talab etilsin: u ' A(x)u  f (x), G (u (a))0, D(u (b))0. bu yerda A(x) – m × m o‘lchovli matritsa; f (x) - m o‘lchovli vektorfunksiya; k o‘chovli G (u (a)) vektor va (m-k) o‘lchovli D(u (b)) vector u (x) vektorning x = a va x = b nuqtalardagi qiymatlaridan chiziqli bog‘liq. chiziqli chegaraviy masalaning umumiy yechimini quyidagi ko‘rinishda izlaymiz:
Bu yerda u 0 (x) - quyidagi birjunsli bo‘lmagan Koshi masalasining
yechimi: u (x) vektor-funksiya (16)-(18) chiziqli chegaraviy masalaning yechimi
bo‘ladi, agar u (17) va (18) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa. Bu shuni
bildiradiki, pi , i = 1,...,т parametrlar ushbu
m-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi
lozim.
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega,
chunki chegaraviy masala korrekt qo‘yilgan va bir jinsli Koshi masalasi
(21) ning yechimlari chiziqli bog‘lanmagan. Shuni ta’kidlaymizki, p1 ,…,
pm larni hisoblash uchun faqat u i (a) va u i (b) vektorlar
komponentalarining qiymatlari yetarli. Shuning uchun (20), (21)
masalalarni sonli yechishda u i (x) larning x = b nuqtadagi qiymatlarini
xotirada saqlab qolish yetarli. p1 ,…, pm larning qiymatlari hisoblangandan
so‘ng (16)-(18) chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi ushbu
u ' A(x)u  f (x), u (a) ( p1 ,..., pm), a ≤ x ≤ b.
Koshi masalasining yechimi bilan mos tushadi.
Yechiladigan bir jinsli Koshi masalasining sonini kamaytirish
mumkin, agar (17) chegaraviy shartlarga mos keluvchi u (a) vektorning m
(m > k) ta noma’lum komponentalariga nisbatan chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasi ushbu ui (a)i ( pk1 ,..., pm), i = 1,…,k, ui (a)  pi, i = k+1,…,m yechimga ega va i  const bo‘lsa (ya’ni ular pi , i = k+1,…,m lardan
bog‘liq bo‘lmasa). Soddalik uchun faraz qilaylik, i  const, i = 1,…,k,
ya’ni ushbu chiziqli ikkinuqtali chegaraviy masalaning yechimini topish talab etilsin.
Oddiy differensial tenglamalarning chiziqli sistemasi (22) ning x = a
nuqtada (23) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi umumiy yechimini
quyidagi ko‘rinishda izlaymiz: (m-k)-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lishi lozim.
Barcha pk+1 ,…, pm lar hisoblab bo‘lingandan
chegaraviy masalaning izlanayotgan yechimi ushbu
Koshining barcha masalalari sonli yechiladi, shuning uchun o‘q otish
usuli qo‘llanilgandan so‘ng taqribiy yechimga ega bo‘linadi.
Nazariy jihatdan (26) tenglamalar sistemasining yechimi yagona
bo‘lishiga qaramasdan, agar (25) masalaning ui (x) yechimi sonli
yechimga juda yaqin bo‘lsa (qariyb chiziqli bog‘liq), u holda chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasi yomon shartlashgan bo‘lishi mumkin,
ya’ni aniqlik katta miqdorda yo‘qotilishi mumkin. Agar birjinsli chiziqli
masala x bo‘yiha o‘zgarish tezligi bilan farq qiluvchi chiziqli
bo‘glanmagan yechimlarga ega bo‘lsa, bunday holda shu holat sodir
bo‘lishi mumkin. Bunga quyidagi misolni keltiramiz.
Misol. Quyidagi o‘zgarmas koeffitsiyenti to‘rtinchi tartibli tenglamali
chegaraviy masalani yechish talab qilinsin:
u(0)  0, u '(0)  0, u(1)  0.146996, u '(1)  0,0241005. Bu chegaraviy masalaning aniq yechimi: u(x)  ex  2e2x  e3x .
Berilgan differensial tenglamaga mos keluvchi xarakteristik tenglamaning ildizlari qiymati bir biridan keskin farq qiladi. Bular: -1, -2, -3, 30. Bu shuni
bildiradiki, intervalning o‘ng chetiga yaqin (x1) bo‘lgan nuqtalarda
e’tiborga olmaslik darajadagi kichik qiymatlarga farq qiluvchi barcha
yechimlar ui  Cie30x , i =1,2,3,4, mavjud, ya’ni ular bir biridan faqat Ci
ko‘paytuvchilargagina farq qiladi. Bu holda (26) chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasining matritsasi yomon shartlashgan bo‘ladi va
yuqoridagi otish usuli bilan topilgan yechim noaniq bo‘lib chiqadi.
Ba’zi hollarda (25) Koshi masalasining u i (x) yechimini [a,b]
kesmaning ba’zi ichki nuqtalarida ortogonallishtirish usuli bunga yordam
beradi. Agar differensial tenglamaning birorta yechimi sekin o‘sib borsa,
bu hol ba’zi ichki s[a,b] nuqtalar uchun tikish tenglamasini qurish
imkonini beradi.
Agar chiziqli masala o‘zgaruvchan koeffitsiyentli bo‘lsa, u holda
hisob jarayoni murakkablashadi. Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun birinchi chegaraviy masala misolida o‘q otish usulining algoritmini chiqarish Ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglama uchun quyidagi birinchi
chegaraviy masalani qaraymiz: y  f (x, y, y), a  x  b,
y  f (x, y, y), a  x  b, y(a)  tg,  : bunda y(x,α) – hosila egri chiziq nafaqat x o‘zgaruvchidan, balki otish burchagi deb ataluvchi α parametrdan ham bog‘liq.
Shunday qilib, o‘q otish usulining algoritmi quyidagicha:
1. α0 burchak tanlanadi, masalan, ushbu shartdan.
2. α0 burchakning bu qiymati bilan biror usuldan foydalanib, y(x,α0)
va y(b,α0) larni olish uchun Koshi masalasi yechiladi; agar bunda
shart bajarilsa, u holda chegaraviy masalaning ε aniqlik
bilan olingan yechilgan bo‘ladi.
3. Aks holda quyidagi ikki variant bo‘lishi mumkin:
a. y(b,α0) > y1; u holda otish burchagi biror uslub bilan
kichraytiriladi va Koshi masalasi xuddi shu usul bilan
y(b,α1) < y1 shart bajarilgunga qadar yechiladi;
b. y(b,α0) < y1; u holda otish burchagi biror uslub bilan
kattalashtiriladi va Koshi masalasi xuddi shu usul
bilan y(b,α1) > y1 shart bajarilgunga qadar yechiladi.
4. Shunday qilib, otish burchagi α ∈ (α0,α1) intervalning ichidan
topiladi, shundan keyin α* ning haqiqiy qiymati quyidagi qadamlarni
bajarish bilan oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan topiladi:
a. αk+1 = (αk-1 + αk) / 2; b. y (x, αk+1); c. y (b, αk+1);
d. |y(b, αk+1) - y1|≤ ε tengsizlik tahlil qilinadi; agar u bajarilsa, u
holda α* (αk + αk+1) / 2 и y(x,α*) haqiqiy egri chiziq; aks holda
iteratsion jarayon 4-banddan boshlab takrorlanadi.
y  f x funksiya a; b intervalda aniqlangan bo’lsin. a; b intervalga
tegishli x0 va x0  x nuqtalarni olamiz. Funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi y  f x0  x f x0 ni hisoblab nisbatni tuzamiz.
2-ta‘rif. Funksiya orttirmasi y ning argument orttirmasi x ga nisbatining
x nolga intilgandagi limiti (agar u mavjud bo’lsa) y  f x funksiyaning x0
nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning hosilasi
Hosilani topish jarayoni funksiyani differensiallash deb ataladi.
Endi yuqorida qaralgan misollarga qaytamiz. Hosila tushunchasidan
foydalanib tenglikni ko’rinishda yozish mumkin. Demak, to’g’ri chiziqli bir tomonlama harakatda oniy tezlik yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng ekan.
Bu hosilaning mexanik ma‘nosidir. (2) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib Shunga o’xshash (19.3) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib f'x0 y  f x Mx0, f x0  koeffitsientiga teng ekan. Bu hosilaning geometrik ma‘nosi.
3-misol. y  x2 funksiyaning istalgan nuqtadagi hosilasi topilsin.
Yechish. f x0 x02, f x0  x x0  x2 , y  f x0  x f x0 =x0  x2  x02  x02  2x0x  x2  x02  2x0x  x2
chunki x0 aniq qiymat. x0 -istalgan nuqta bo’lganligi uchun y  x2 funksiya  ,   intervalning barcha nuqtalarida hosilaga ega ekanligi va uning hosilasi 2х ga tengligi kelib chiqadi, ya‘ni x2  2x.
4-misol. y  x2 parabolaga M3; 9 nuqtasida o’tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsienti topilsin.
x0 f x0 f 3 32  9f 'x0 2x0 f '3 23  6 Biz yuqorida hosilaning mexanik va geometrik ma‘nolari bilan tanishdik. Endi
uning biologik va iqtisodiy ma‘nolari bilan tanishamiz. Hosilaning biologik ma‘nosi. Ko’paygan mikroorganizmlar soni y va ko’payish vaqti t orasidagi bog’lanish y  p(t) tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Vaqtning aniq t momentiga mikroorganizmlarning aniq p(t) soni va
vaqtning boshqa t  t momentiga mikroorganizmlarning aniq pt  t soni mos
keladi. y  pt  t p(t) ifoda t vaqt oralig’ida mikroorganizmlarni o’zgarish
sonini beradi. nisbat ko’payishning o’rtacha tezligi yoki boshqacha aytganda ko’payishning  mikroorganizm ko’payishining samaradorligini anglatadi. Bu hosilaning biologic ma‘nosi. Hosilaning iqtisodiy ma‘nosi. y  f (x)
funksiyani olaylik.
f (t)x  x mahsulotning f x  x miqdori mos keladi. y  f x  x f x ayirma xarajat x ga oshganda olingan qo’shimcha mahsulotning miqdorini beradi.
nisbat sarflangan x xarajat miqdoriga mos olingan mahsulot   xarajatlarning ma‘lum miqdoridagi olingan mahsulot hajmining o’zgarish tezligini
(xarajat birligida olingan mahsulot hajmini) anglatadi. Bu hosilaning iqtisodiy
ma‘nosidir.
3-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya x0 nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u shu
nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi.
4-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya a; b intervalning har bir nuqtasida
differensiallanuvchi bo’lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi deb ataladi.
Funksiyaning uzluksizligi va differensiallanuvchiligi orasidagi bog’lanishni
ko’rsatadigan teoremani isbotlaymiz.
1-teorema. Agar y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u
shu nuqtada uzluksizdir.
Isboti. y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lgani uchun
chekli limit mavjud. Buni limitning xossasi (16.5-teorema) dan foydalanib  y  f (x) x0 funksiyaning chekli hosilaga ega ekanligidan uning uzluksizligi kelib chiqar ekan.
Teskari da‘vo, umuman aytganda, to’g’ri emas, chunonchi nuqtada uzluksiz,
biroq bu nuqtada hosilaga ega bo’lmagan funksiyalar ham mavjud.
funksiyani qaraymiz. Bu funksiya butun sonlar o’qida, jumladan х0=0 nuqtada ham uzluksiz (21-chizma), chunki Bu funksiyaning х0=0 nuqtada hosilaga ega emasligini ko’rsatamiz.
Shunday qilibnisbat х=0 nuqtada har xil bir tomonlama limitlarga ega. Bu
nuqtada limitga emasligini, ya‘ni f '0 hosilaning mavjud emasligini ko’rsatadi.
Demak, funksiyaning biror nuqtada uzluksizligidan uning shu nuqtada chekli
hosilaga ega ekanligi(differensiallanuvchiligi) kelib chiqmas ekan.
Differensiallashning asosiy qoidalari. teorema. Agar ux va vx funksiyalar x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va mahraji noldan farqli bo’lganda bo’linmasi ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo’lib, hosilalar а) u  v' u'v' , b) uv' u'v uv'
formulalar yordamida topiladi.
Isbot. (Bo’linma uchun). y  f (x)  bo’lsin, bu yerda vx 0 y orttirmani tuzamiz:
Murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bilan tanishamiz. y  f (u),
u(x) murakkab funksiyani qaraymiz.
3-teorema. y  f (u) va u (x) differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin.
Murakkab f (u) funksiyaning erkli o’zgaruvchi х bo’yicha hosilasi bu
funksiyaning oraliq argumenti u bo’yicha hosilasi yu' ning oraliq argumentning
erkli o’zgaruvchi х bo’yicha hosilasi u'(x) ga ko’paytmasiga teng, ya‘ni
y'x0 f 'u0u'x0 yx'  yu' ux' yerda differensiallanuvchi u(x) funksiya uzluksiz va x 0 da u 0 ni hisobga oldik.
Teskari funksiya va uning hosilasi. a; b kesmada aniqlangan o’suvchi yoki kamayuvchi y  f (x) funksiyani qaraymiz. f a c , f b d bo’lsin. Aniqlik uchun y  f (x) funksiyaa; b kesmada o’suvchi deb faraz qilamiz. a; b kesmaga tegishli ikkita har xil x1 va x2 nuqtani x1  x2 y1  f x1y2  f x2 y1  y2 Demak, argumentning ikkita har xil x1 va x2 qiymatlarga funksiyaning ikkita
har xil y1 va y2 qiymatlari mos keladi. Buning teskarisi ham to’g’ri, ya‘ni y1  y2
bo’lib, y1  f x1, y2  f x2bo’lsa, o’suvchi funksiya ta‘rifidan x1  x2 bo’lishi
kelib chiqadi.
Boshqacha aytganda х ning qiymatlari a; b kesma bilan у ning qiymatlari
c; d kesma orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatiladi. у ni argument, х ni
esa funksiya sifatida qarab х ni у ning funksiyasi sifatida hosil qilamiz:
x (y).
Bu funksiya berilgan y  f (x) funksiyaga teskari funksiya deyiladi.
Kamayuvchi funksiya uchun ham shunga o’xshash mulohaza yuritish mumkin.
Shuni aytish lozimki, y  f (x) funksiyaning qiymatlari sohasi c; d unga teskari
x (y) funksiyaning aniqlanish sohasi bo’ladi va aksincha. x (y) funksiya
uchun y  f (x) funksiya teskari funksiya bo’lgani uchun x (y) va y  f (x)
funksiyalar o’zaro teskari funksiyalar deb ataladi.
y  f (x) funksiyaga teskari funksiya y  f (x) tenglamani х ga nisbatan
yechib topiladi. O’zaro teskari funksiyalarning grafigi 0ху tekisligidagi bitta egri
chiziqni ifodalaydi.
5-misol. y  x3 funksiyaga teskari funksiya topilsin.
Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan va o’suvchi. Tenglikni
х ga nisbatan yechsak berilgan funksiyaga teskari x  3 y funksiya hosil bo’ladi.
Har qanday funksiya ham teskari funksiyaga ega bo’lavermaydi. Masalan
y  x funksiya , intervalda teksari funksiyaga ega emas, chunki у ning
har bir musbat qiymatiga х ning ikkita x   y va x  y qiymatlari mos keladi.
Agar y  x2 funksiyani ,0 intervalda qaralsa funksiya x   y teskari
funksiyaga ega, chunki у ning har bir musbat qiymatiga х ning yagona y  x2
tenglikni qanoatlantiradigan qiymati mos keladi.
Shuningdek y  x2 funksiyani 0, oraliqda qarasak unga teskari x  y
funksiya mavjud bo’ladi.
y  f (x) x (y) y  f (x) y (x) funksiyalarni grafigini bitta koordinatalar sistemasida chizsak grafik
birinchi koordinatalar burchagining bissektrisasiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
4-teorema. Agar o’suvchi (kamayuvchi) y  f (x) funksiya a; b kesmada
uzluksiz, shu bilan birga f a c , f b d bo’lsa, u holda unga teskari x (y)
funksiya c; d(d; c) kesmada aniqlangan monoton va uzluksiz bo’ladi.
x (y) y  f (x) 5-teorema. Agar x (y) funksiya biror intervalda monoton bo’lib shu intervalning y nuqtasida noldan farqli '(y) hosilaga ega bo’lsa, bu nuqtaga mos х nuqtada teskari y  f (x) funksiya ham hosilaga ega bo’lib,
bo’ladi.
Isboti. Shartga binoan x (y) funksiya monoton va differensiallanuvchi
bo’lgani uchun u uzluksiz hamda unga teskari monoton va uzluksiz y  f (x)
funksiya mavjud. х ga x  0 orttirma bersak y  f (x) funksiya y orttirma oladi
va uzluksizligini nazarga olsak x 0 da y 0. Natijada y  ko’rinishda yozish mumkin. Shunday qilib, teskari funksiyaning hosilasi shu funksiya hosilasiga teskari miqdorga teng ekan.
х va у o’zgaruvchilar orasidagi funktsional bog’lanish F(х,у)=0 tenglama
bilan berilgan bo’lsin. Agar qandaydir (а, b) intervalda aniqlangan у=f(х)
funksiya mavjud bo’lib, u F(х,у)=0 tenglamani qanoatlantirsa, u holda у=f(х)
funksiya F(х,у)=0 tenglama bilan aniqlangan oshkormas funksiya deyiladi.
Funksiya у=f(х) tenglik yordamida berilganda y oshkor ko’rinishda berilgan
deyiladi. Oshkor ko’rinishda berilgan funksiyani у-f(х)=0 ko’rinishda yozilsa y
oshkormas ko’rinishda berilganga o’tiladi. Funksiya F(х,у)=0 tenglama yordamida
oshkormas shaklda berilganda tenglamani у ga nisbatan yechilsa funksiyaning
oshkor ko’rinishdagi tenglamasi hosil bo’ladi. Ammo bunday o’tish har doim ham
oson bo’lavermaydi, ba‘zan esa umuman o’tishning iloji bo’lmaydi.
Shuning uchun oshkormas funksiya hosilasini uni oshkor holga keltirmasdan
topish usuli bilan misollarda tanishamiz.
1-misol х2+у2=4 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani у ni х ning funksiyasi ekanligini hisobga olgan
holda x bo’yicha differensiallaymiz: (х2 )’+(у2 )=4; 2х+2у. y=0,
х  у у  0 .
2-misol. у4-4ху+х4=0 tenglama bilan berilgan funksiyaning y hosilasini
toping.
Yechish. Differesiallaymiz: 4у3  у  4(ху  х  у)  4х3  0; у3  у  у  ху  х3;
Biz kelgusida oshkormas funksiyaning hosilasini topishga yana qaytamiz.
Shuning uchun bu yerda uni batafsil o’rganib o’tirmaymiz.
Funksiyaning parametrik berilishi va parametrik berilgan
funksiyaning hosilasi. tenglamalar berilgan bo’lsin. Bu yerda t Т1,Т2  kesmadagi qiymatlarni qabul qiladi. t ning har bir qiymatiga х va у ning aniq qiymatlari to’g’ri keladi.
Agar x va y ni 0ху koordinata tekisligidagi nuqtaning koordinatalari deb qaralsa, u holda t ning har bir qiymatiga tekislikning ma’lum bir nuqtasi to’g’ri keladi. t ning qiymatlari Т1 dan Т2 gacha o’zgarsa, bu nuqta tekislikda biror egri chiziqni chizadi. (1) tenglamalar ana shu egri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi, t parametr deyiladi.
Bu egri chiziq qandaydir у=f(х) funksiyaning grafigi bo’lsa, u holda
у=f(х) funksiya (1) parametrik tenglamalari yordamida berilgan deyiladi. х bilan у
orasidagi bog’lash (1) tenglamalardan t ni yuqotish orqali o’rnatiladi.
Faraz qilaylik, x  t funksiya t  x teskari funksiyaga ega bo’lsin.
U holda t  x ni (1) ning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak у ni х ning
funksiyasi sifatida aniqlaydigan у=[Ф(х)] yoki у=f(х)
tenglikka ega bo’lamiz.
Shunday qilib (1) tenglamalar qandaydir у=f(х) funksiyani aniqlar ekan.
ega to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari yozilsin.
Yechish. Bu to’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi
to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalari hosil bo’ladi. tenglamalar aylananing parametrik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak х2+у2=R2cos2t+R2sin2t= R2(cos2t+sin2t)=R2 yoki х2+у2=R2 hosil bo’ladi. Bu markazi koordinata boshida bo’lib radiusi R
ga teng aylananing kanonik tenglamasi ekani ma‘lum.
tenglamalar ellipsning kanonik tenglamalari ekanini ko’rsatamiz. Tenglamalarni
birinchisini а ga, ikkinchisini b ga bo’lib ularni,
ko’rinishda yozamiz. Bu tenglamalarni kvadratga ko’tarib qo’shsak bilan berilgan funksiyaning hosilasini topish uchun formula chiqaramiz.(t) , t funksiyalar differensiallashuvchi hamda x=(t) funksiya t=ф(х) teskari funksiyaga ega deb faraz qilamiz. U holda у (t), t  ф(х) bo’lgani uchun у х ning murakkab funksiyasi bo’ladi, t-oraliq argument.
a; b intervalda differensiallanuvchi y  f x funksiyani olamiz. U holda a; b dagi istalgan х uchun chekli hosila mavjud bo’ladi. Umumiy holda f x  0 deb faraz qilinsa, (1) tenglikdan x   x x yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor.
Bundan (2) formulada birinchi qo’shiluvchi
f 'xx asosiy ekanligi kelib chiqadi. Ana shu qo’shiluvchi funksiyaning
differensiali deyiladi.
Funksiyaning differensiali dy yoki df(x) kabi belgilanadi.
Demak, dy  f 'xx y' x'1 dy  dx1x dx  xdy  f 'xdx  y'dx ko’rinishda yozish mumkin. Bundan y' , ya‘ni hosila funksiya differensialining
argument differensialiga nisbati ekanligi kelib chiqadi.
(22.4) tenglikdan ko’rinib turibdiki funksiyani differensialini topish masalasi
uning hosilasini topishga teng kuchli, chunki funksiyaning hosilasi erkli
o’zgaruvchining orttirmasi x ga ko’paytirilsa funksiyaning differensiali hosil
bo’ladi.
Shunday qilib hosilalarga tegishli bo’lgan teoremalar va formulalarning
ko’pchiligi differensiallar uchun ham to’g’ri bo’ladi.
Xususan, differensiallanuvchi u va v funksiyalar uchun differensiallash
qoidalaridagi singari du  v  du  dv , dcu cdu, c  const , du v  vdu udv formulalar to’g’ri bo’ladi.
2-misol. y  ex2 funksiyaning differensialini toping.
Yechish. dy  y'dx  ex2dx  ex2x2dx  ex2 2xdx.
Endi differensialning geometrik ma‘nosi bilan tanishamiz.
y  f x funksiya va unga mos egri chiziqni qaraymiz(105-chizma).
Egri chiziqning Mx, y nuqtasini olib shu nuqtada egri chiziqqa urinma
o’tkazamiz. Urinmaning 0х o’qning musbat yo’nalish bilan hosil qilgan burchakni
 bilan belgilaymiz. Erkli o’zgaruvchi х ga x orttirma beramiz, u holda
funksiya PN  y  f (x x)  f (x) orttirmani oladi. Chizmadagi MPQ dan
Ammo hosilaning geometrik ma‘nosiga binoan tg  f '(x) ekanini hisobga olsak PQ  f '(x)x bo’ladi. Differensialning ta‘rifiga asosan dy  f 'xx edi.
Shunday qilib, PQ dy. Bu tenglik f (x)
funksiyaning х va x ning berilgan qiymatlariga mos keluvchi differensiali
y  f x egri chiziqqa Mx, f (x) nuqtada o’tkazilgan urinmaning ordinatasi
orttirmasiga teng ekanligini bildiradi. Differensialning geometrik ma‘nosi
shundan iborat. dy  f 'xx y  dyx  f '(x)  0 y x 0 y  dy y  f '(x)xy  f (x x)  f (x) f (x x) f (x)  f '(x)x f (x x)  f (x) f '(x)x hosil bo’ladi.
Bu formuladan foydalanib biror х nuqtada funksiyani va uning hosilasining
qiymatini bilgan holda unga yaqin boshqa x  x nuqtada funksiyaning taqribiy
qiymatini hisoblash mumkin. (22.5) tenglikda x qanchalik kichik bo’lsa tenglik
shunchalik aniq bo’ladi.
Yuqori tartibli differensiallarni hosilalar orqali ifodalaymiz. dx  x  const
ekanini hisobga olib ikkinchi tartibli differensial uchun