Matematik mantiq elementlari(Dizunksiya, konyuksiya,implikatsiya, ekvivalensiya va inkor). Mulohazalar va ular ustida amallar. Predikat. Kvantor. Reja

. Иккинчи тартибли чизиқлар

Режа

1. Иккинчи тартибли чизиқ ва унинг тенгламаси.

2. Айлана ва унинг тенгламаси.

3. Эллипс ҳамда унинг тенгламаси.

4. Гипербола ва унинг тенгламаси.

5. Парабола ва унинг тенгламаси.

Таянч ибора ва тушунчалар
Иккинчи тартибли чизиљ, айлана, эллипс, гипербола, парабола, эллипс ва гипербола ярим ўқлари, асимптота, қўшма гипербола, каноник тенглама, симметрия маркази, симметрия ўқи, эксцентриситет, фокус, директриса, парабола фокуси.


1. Иккинчи тартибли чизиқ ва унинг тенгламаси. Маълумки, текисликда тўғри чизиқ ва ўзгарувчи кординатларга нисбатан биринчи даражали эди. Энди текисликда иккинчи тартибли чизиқларни ўрганамиз. Иккинчи тартибли чизиқлар ва ўзгарувчи координатларга нисбатан иккинчи даражали тенглама билан ифодаланади. Иккинчи даражали тенгламанинг умумий кўриниши

(1)
бўлади. (1) тенгламага иккинчи тартибли чизиқнинг умумий тенгламаси дейилади. Қуйида муайян ҳолларда, иккинчи тартибли чизиқларнинг аналитик ифодаларини топиб, уларнинг хусусиятларини ўрганамиз.

2. Айлана ва унинг тенгламаси. Таъриф. Текисликда бирор нуқтадан тенг узоқликда жойлашган нуқталар геометрик њрнига айлана дейилади.

айланага тегишли ихтиёрий нуқта бўлсин (1-чизма). Айлана таърифига кўра масофа ўзгармас, бу масофани билан белгилайлик.

1-чизма 2-чизма
икки нуқта орасидаги масофани топиш формуласига асосан,
бњлади. Охирги тенгликнинг иккала тарафини квадратга кўтариб,

(2)
тенгламага келамиз. Бу тенгламага маркази нуқтада, радиуси га тенг айлананинг каноник(қонуний) тенгламаси деб аталади. (2) дан

ёки
бўлади. Бу тенглама (1) тенгламанинг бўлган хусусий ҳолидир. Демак, айлана иккинчи тартибли чизиқдир.

1-мисол. Иккинчи тартибли чизиқ тенглама билан берилган бњлсин. Унинг айлана эканлигини кўрсатинг ҳамда марказини ва радиусини топинг.
Ечиш. ва ли ҳадлар бўйича тўла квадратлар ажратамиз:

,

ёки

бўлади. Бу айлананинг каноник тенгламасидир. Унинг маркази , нуљтада, радиуси бўлади.


3. Эллипс ҳамда унинг тенгламаси. Таъриф. Текисликда, ҳар бир нуқтасидан берилган иккита нуқталаргача бўлган масофалар йиғиндиси ўзгармас миқдордан иборат бўлган нуқталар геометрик њрнига эллипс дейилади. Берилган нуқталар ва бўлсин. Бу нуқталарга эллипснинг фокуслари дейилади. Ўзгармас миқдорни , фокуслар орасидаги масофани билан белгилаб, координатлар системасини шундай оламизки, ўқи фокуслардан ўтсин ва координатлар боши масофанинг ўртасида бўлсин (2-чизма). эллипсга тегишли ихтиёрий нуқта бўлса, таърифга кўра

(3)
бўлади. Маълумки, ва бўлиб, икки нуқта орасидаги масофани топиш формуласига асосан:

тенгламани ҳосил қиламиз. Бу тенгламадан иррационалликни йўқотиб,

кўринишга келтирамиз. билан белгилаймиз (чунки, > ). Бу ҳолда

(4)
тенгламани ҳосил қиламиз. (4) тенгламага эллипснинг каноник тенгламаси дейилади.

Координатлар боши, эллипснинг симметрия маркази, координатлар ўқи симметрия ўқлари бўлади.
нуқталар эллипснинг учлари, масофалар мос равишда эллипснинг катта ва кичик ярим ўқлари дейилади.
Шундай қилиб, эллипс иккита симметрия ўқига, симметрия марказига эга бўлган ёпиқ эгри чизиқдир.

катталик эллипснинг эксцентриситети дейилади. Айланани эллипснинг бўлган хусусий ҳоли деб қараш мумкин.

нуқтадан фокусларгача бўлган масофага эллипснинг фокал радиуслари дейилади, уларни ва билан белгиласак, бўлади.
2-мисол. эллипснинг ярим ўқларини, фокусларини ва эксцентриситетини топинг.
Ечиш. Берилган тенгламани 400 га бўлиб,
кўринишга келтирамиз. Бу тенгламадан бўлиб, ярим ўқлари мос равишда бўлади. Маълумки, , бўлиб, бўлади. Демак, фокуслари ва нуљталарда бўлади. Эксцентриситети эса, .


4. Гипербола ва унинг тенгламаси. Таъриф. Текисликда, ҳар бир нуқтасидан берилган иккита (фокус) нуқталаргача бўлган масофалар айирмаси ўзгармас миқдордан иборат бўлган нуқталар геометрик њрнига гипербола дейилади(кўрсатилган айирма абсолют қиймати бўйича олиниб, у фокуслар орасидаги масофадан кичик ва 0 дан фарқли).
Ўзгармас миқдорни , фокуслар орасидаги масофани ва координат ўқларини эллипсдагидек олиб, белгилаш киритиб,

(5)
тенгламани ҳосил қиламиз. (5) тенгламага гиперболанинг каноник тенгламаси дейилади. Гиперболанинг фокуслари ва бўлади (3-чизма). Координатлар ўқи симметрия ўқлари ва координатлар боши симметрия марказидир. Гипербола кординат ўқларини нуқталарда кесиб ўтиб, бу нуқталарга ҳақиқий учлари ва масофа ҳақиқий ярим ўқи дейилади. нуқталар гиперболанинг мавҳум учлари, мавҳум ярим ўқи дейилади.

Гипербола иккита асимптоталарга эга бўлиб, унинг тенгламалари

(6)
бўлади.

катталикка гиперболанинг эксцентриситети деб
аталади.
Гипербола ўқлари бўлса, унга тенг томонли гипербола дейилади ва унинг тенгламаси
бўлади.

гиперболаларга ўзаро қўшма гиперболалар деб аталади.

3-мисол. гиперболанинг ярим ўқларини, фокусларини, эксцентриситетини ҳамда аксимптоталарининг тенгламаларини топинг.
Ечиш. Берилган тенламани 144 га бўлиб тенгламани каноник

кўринишга келтирамиз. Бундан бўлиб, ҳақиқий ярим ўқ , мавҳум ярим ўқ бўлади. бўлиб, фокуслари нуљталарда бўлади. Эксцентриситет .

ва ларнинг қийматини (6) асимптота тенгламасига қўйиб,

тенгламаларни ҳосил қиламиз. Бу асимптоталар тенгламасидир.


x
3-чизма 4-чизма

5. Парабола ва унинг тенгламаси. Таъриф. Текисликда, ҳар бир нуқтасидан берилган нуқта(фокус)гача ва берилган тўғри чизиқ (директриса)гача масофалари ўзаро тенг бўлган нуқталар геометрик њрнига парабола дейилади.
Координатлар системасини шундай оламизки, ўқи (фокус)дан ўтиб, директрисага перпендикуляр, ўқи эса фокус ва директрисанинг ўртасидан ўтсин(4-чизма). параболага тегишли ихтиёрий нуқта бўлсин. нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофани билан белгилаймиз. Бунда бўлиб, директрисанинг тенгламаси

бўлади.

Таърифга асосан, .
Икки нуқта орасидаги масофа формуласига асосан,

.
Бу тенгламадан иррационалликни йўқотиб,

(7)
тенгламани ҳосил қиламиз. Бу абциссалар ўқига симметрик параболанинг каноник тенгламаси бўлади. Ординатлар ўқи симметрия ўқи бўлса, парабола тенгламаси

кўринишда бўлади. Бу ҳолда директриса тенгламаси, нуқта фокус бўлади(5-чизма).

5-чизма

нуқтадан фокусгача масофага фокал радиус
дейилади ва нуқтадан фокусгача
масофа бўлади.
4-мисол.. парaболанинг фокусини ва директрисасининг тенгламасини топинг. нуқтадан фокусгача бўлган масофани аниқланг.
Ечиш. Берилган тенгламани (7) тенглама билан солиштириб бундан Шундай қилиб, фокус нуқтада директриса тенгламаси =-3 эканлигини топамиз. нуқта учун , бўлиб, факол радиус бўлади.
Asosiy adabiyotlar

1. Jo‘raev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1-tom. T.: «O‘zbekiston». 1995.

   
   

2. Jo‘raev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-tom. T.: «O‘zbekiston». 1999.

   
   

3. Fayziboyev va boshqalar. Oliy matematikadan misollar. Toshkent. «O’zbekiston». 1999.

   
   

4. Tojiev Sh.I. Oliy matematika asoslaridan masalalar yechish. T.: «O‘zbekiston». 2002 y.

   
   

5. Klaus Helft Mathematical preparation course before studying physics. Institute of Theoretical Physics University of Heidelberg. Please send error messages to k.helft @thphys.uni- heidelberg.de November 11, 2013.

   
   

6. Herbert Gintis , Mathematical Literacy for Humanists, Printed in the United States of America, 2010

   
   

7. Jane S Paterson Heriot-Watt (University Dorothy) A Watson Balerno (High School) SQA Advanced Higher Mathematics. Unit 1. This edition published in 2009 by Heriot-Watt University SCHOLAR. Copyright © 2009 Heriot-Watt University.

   
   

Qo’shimcha adabiyotlar.

1. Hamedova N.A., Sadikova A.V., Laktaeva I.SH. ”Matematika” – Gumanitar yo’nalishlar talabalari uchun o’quv qo’llanma. T.: ”Jahon-Print” 2007 y.

   
   

2. Azlarov T.A., Mansurov X. “Matematik analiz” 1-qism. T.: “O’qituvchi”, 1994y.

   
   

3. Baxvalov S.B. va boshq. “Analitik geometriyadan mashqlar to’plami”. T.: Universitet, 2006 y.

   
   

4. College geometry, Csaba Vincze and Laszlo Kozma, 2014 Oxford University

   
   

5. Introduction to Calculus, Volume I,II, by J.H. Heinbockel Emeritus Professor of Mathematics Old Dominion University, Copyright 2012, All rights reserved Paper or electronic copies for noncommercial use may be made freely without explicit.

   
   

6. Susanna S. Epp. Discrete Mathematics with Applications, Fourth Edition. Printed in Canada, 2011

   
   

Valentin Deaconu, Don Pfaff. A bridge course to higher mathematics. pdf