Matematik modellashtirishda variatsion prinsipidan foydalanish

Mavzu:Iyerarxiya printsipidan foydalanib, matematik modellar qurish.Matematik modellashtirishda variatsion prinsipidan foydalanish
Reja:
1. Iyerarxiya printsipidan foydalanish
2. Matematik Modellashtirish
3. Matematik modellashtirish sxemalari.
Tizimning matematik modelini yaratishda asosiy yondashuvlar


4. Matematik modellashtirishda variatsion prinsipidan foydalanish.

Biz modellarni qurishda fizik qonunlarning tadbiqini o`rganib chiqqan edik, bu paragrafda esa Model qurilgan, ammo endilikda bu Model yanada umumiyroq holga nisbatan qo`llanilishi mumkinligi ma’lum bo`lib qolgan vaziyatni o`rganib chiqamiz. Faqatgina ayrim hollarda eng sodda modellarning matematik modellarini to`liq qo`rinishda, uning hatti-harakati uchun mos bo`lgan barcha omillarni qurish o`zini oqlaydi. Shuning uchun «soddadan-murakkablikka qarab» tamoyilini amaliyotga tadbiq etuvchi yondashuv o`rinli bo`lib, bu yondashuvga ko`ra keyingi qadamga murakkab bo`lmagan modelni sinchkovlik bilan o`rganib chiqqandan so`ng o`tiladi. Bunda har biri oldingi modellarni umumlashtiruvchi va ularni o`zining xususiy holi sifatida o`ziga biriktirib oluvchi nisbatan to`la modellar zanjiri (iyerarxiyasi) hosil bo`ladi.

Bunday zanjirni ko`p pog`onali raketaning modeli misolida o`rganmaiz. Oldingi ma’ruzaning oxirida qayd qilinganidek, haqiqiy bir pog`onali raketa birinchi kosmik tezlikka erisha olmaydi. Buning sababi - yonilg`ining kerakli bo`lmagan strukturaviy massani harakatlantirib yuborishga sarf bo`lishidir. Demak, raketa o`zining harakati davomida davriy ravishda ballastdan qutulib borishi lozim.
Amaliy konstruktsiyada esa bu raketa foydalanib bo`lingandan so`ng tashlab yuboriladigan bir nechta pog`onalardan tashkil topishini anglatadi.
Quyida keltiriladigan belgilashlardan foydalanmiz: m<sub>i</sub>  i-chi pog`onaning umumiy massasi,  i-chi pog`onaga mos keluvchi struktura massasi (bunda yoqilg`ining massasi kattalikka teng), - foydali yuk massasi. kattalik va gazlarning tezligi barcha pog`onalarga nisbatan bir xildir. Aniqlik uchun pog`onalar sonini n=3 ga teng deb olamiz. Bunday raketaning boshlang`ich massasi

ga teng. Birinchi pog`onaning yoqilg`isi sarf bo`lgan va raketa massasi

ga teng bo`lgan momentni o`rganib chiqamiz. U holda TSiolkovskiyning formulasiga ko`ra, raketaning tezligi

ga teng bo`ladi. v<sub>1</sub> tezlikka erishilgandan so`ng, strukturaviy massa tashlab yuboriladi va ikkinchi pog`ona ishga kiradi. Bu momentda raketaning massasi
m<sub>p</sub>+m<sub>2</sub>+m<sub>3</sub>
ga teng bo`ladi.
Shu momentdan boshlab, to ikkinchi pog`onadagi yoqilg`i to`la yonib bitgunga qadar qurilgan modeldan foydalanishga hech narsa halaqit bermaydi. Impulsning saqlanishi to`g`risidagi barcha mulohazalar o`z kuchini saqlab qoladi (endilikda raketaning boshlang`ich tezligi v<sub>1</sub> ga teng ekanligini hisobga olish darkor). U holda, TSiolkovskiyning formulasiga ko`ra, ikkinchi pog`onadagi yoqilg`i yonib tugagandan so`ng, raketa

tezlikka erishadi.
Huddi shu mulohazalarni raketaning uchinchi pog`onasiga nisbatan ham qo`llash mumkin. Raketaning dvigateli o`chirilgandan so`ng, raketaning tezligi

ga teng bo`ladi.
Bu zanjirni ixtiyoriy sondagi pog`onalarga nisbatan davom ettirib, mos formularni hosil qilish mumkin. n=3 holda esa oxirgi tezlikka nisbatan

tenglikni hosil qilish mumkin. Bu tenglikda quyidagicha belgilashlar

kiritib, uni nisbatan soddaroq ko`rinishga keltirish mukin:
.
Mazkur ifoda kattaliklarga nisbatan simmetrik bo`lib, u o`zining maksimumiga simmetrik holda, ya’ni bo`lganda erishadi. Bunda, i =3 ga nisbatan

munosabat o`rinlidir.
ko`paytma ga teng ekanligini osongina tekshirib ko`rish mumkin. Bundan quyidagiga ega bo`lish mumkin:
.
Ko`p pog`onali raketaga nisbatan shunga o`xshash ravishda

munosabatlar o`rinli, bu yerda n — pog`onalar soni.
Oxirgi hosil qilingan formulani tahlil qilaylik. v_n = 10,5 km/s, = 0,1 deb olamiz. U holda n = 2,3,4 larga nisbatan mos ravishda m₀=149m_r, m₀=77m_p, m₀=65m_p larni hosil qilish mumkin. Bu degani, ikki pog`onali raketa foydali massani orbitaga chiqarishga layoqatlidir (ammo bir tonallik foydali yukda 149 tonnalik vaznli raketaga ega bo`lish darkor). Uchinchi pog`onaga o`tish raketaning massasini deyarli ikki martaga kamaytiradi (ammo uning tuzilmasini murakablashtiradi), to`rt pog`onali raketa esa uch pog`onaliga nisbatan sezilarli yutuqni bermaydi.
Iyerarxik zanjirni qurish bu kabi muhim xulosalarga nisbatan oson yo`l bilan kelish imkonini berdi. Matematik modellarning iyerarxiyasi teskari tartibda “murakkablikdan soddalikka” tamoyili bo`yicha ham quriladi. Bunday holatda “yuqoridan pastga” printsipi asosida ish ko`riladi  umumiy va murakkab modeldan soddalashtiruvchi farazlar asosida nisbatan sodda (ammo tadbiq etilish doirasi ancha tor bo`lgan) modellar ketma-ketligi hosil qilinadi.

Model so’zi lotincha so’z bo’lib – O’lchov me’yor namuna degan manoni anglatadi
Modellashtirish Modellashtirish - bu haqiqiy ob'ektni (asl nusxasini) yangi ob'ektga uning modeli bilan almashtirish orqali o'rganish, u bilan muayyan ob'ektga mos keladigan va uning funktsional xususiyatlarini bashorat qilishga imkon beradigan, ya'ni. modellashtirishda ular ob'ektning o'zi bilan emas, balki uning o'rnini bosadigan narsa bilan tajriba o'tkazadilar.
Modellashtirish jarayoni bir necha bosqichlarni o'z ichiga oladi:
1. Muammoning bayoni va tekshirilishi kerak bo'lgan haqiqiy ob'ektning xususiyatlarini aniqlash.
2. Haqiqiy ob'ektni tadqiq qilishning qiyinligi yoki imkonsizligi to'g'risida bayonot.
3. Bir tomondan ob'ektning yaxshi ishlaydigan asosiy xususiyatlarini va boshqa tomondan o'rganish oson bo'lgan modelni tanlash. Model ob'ektning asosiy xususiyatlarini aks ettirishi kerak va juda katta bo'lmasligi kerak
4. Belgilangan maqsadga muvofiq modelni tadqiq qilish.
5. Ob'ekt va modelning mosligini tekshirish. Agar biron bir moslik bo'lmasa, unda siz dastlabki to'rtta fikrni takrorlashingiz kerak.
Modellashtirish muammolarini hal qilishda klassik va tizimli yondashuv mavjud. Usulning mohiyati quyidagicha: tekshirilishi kerak bo'lgan haqiqiy ob'ekt alohida tarkibiy qismlarga bo'linadi D va ma'lum maqsadlar tanlangan C modelning individual tarkibiy qismlarini shakllantirish TO... Keyin, dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, model komponentlari yaratiladi, ularning umumiyligi ularning munosabatlarini hisobga olgan holda modelga birlashtiriladi. Ushbu usul induktiv, ya'ni. modelning qurilishi alohida shaxsdan umumiygacha davom etadi.
Klassik usul nisbatan sodda tizimlarni simulyatsiya qilish uchun ishlatiladi, masalan, ACS. Tizimlar yondashuvi Usulning mohiyati shundaki, dastlabki ma'lumotlarga asoslanadi D, tashqi muhitni tahlil qilish natijasida ma'lum bo'lgan, tizimga qo'yilgan cheklovlarni hisobga olgan holda va belgilangan maqsadga muvofiq C, talablar shakllanadi T va ob'ekt modeli. Ushbu talablar asosida quyi tizim quriladi P va quyi tizimlarning elementlari E va eng yaxshi modelni tanlash rezyumeni tanlash mezonidan foydalanib amalga oshiriladi, ya'ni. model umumiydan o'ziga xosgacha qurilgan.
Tizimlar yondoshuvi murakkab tizimlarni modellashtirish uchun ishlatiladi.
Modellashtirishning asosiy usulllari:
1Analitik usullar
2 Sonli usullar
3 Statistik usullar
4Sonli analitik usullar
5 Analitik statistik usullar
Modellashtirish turlarining tasnifi 1. Modelni qurish usuli bo'yicha A) Nazariy (analitik) - ichki ma'lumotlarga asoslangan holda jismoniy ma'lumotlardan kelib chiqadigan munosabatlar asosida quriladi. B) rasmiy - tizimdan chiqish va tizimga kirish o'rtasidagi munosabatlarga asoslangan. U qora quti printsipi asosida qurilgan C) kombinatsiyalangan 2. Vaqt o'tishi bilan o'zgaruvchilar o'zgarishi bilan A) statik B) dinamik.Statik model ob'ekt holatini tavsiflaydi va uning hosilalarini o'z ichiga olmaydi. x va da (kirish va chiqish) signallari o'z vaqtida beriladi Matematik model b) uzunlik bo'ylab taqsimlangan koordinatalar bilan hajm statikasini tavsiflaydi.Indikatsion model vaqt ichida o'tadigan jarayonlarni tavsiflaydi va hosilalarni o'z ichiga oladi. da idtOlingan usulga qarab dinamik model vaqtinchalik impuls yoki chastota reaksiyasining differentsial tenglamasi yoki uzatish funktsiyasi ko'rinishida ifodalanadi.Taqsimlangan parametrlarga ega ob'ektlar dinamikasi oddiy differentsial tenglamalar bilan tavsiflanadi, taqsimlangan parametrlarga ega ob'ektlar esa chastota hosilalarida differentsial tenglamalar bilan tavsiflanadi. O'zgaruvchan modullarning fazoviy koordinatalarga bog'liqligi bo'yicha a) taqsimlangan parametrlar bilan b) kesilgan parametrlar bilan 4. Qurilish printsipi bo'yicha a) stoxastik b) aniqlovchi if x va da (kirish va chiqish) doimiy yoki ma'lum miqdorlar (deterministik) bo'lsa, u holda model stoxastik deb nomlanadi x va da tasodifiy (mumkin bo'lgan) qiymatlar, keyin model stoxastik deb ataladi
Stoxastik modellar ehtimol elementlarni o'z ichiga oladi va ishlaydigan ob'ektni statik o'rganish natijasida olingan qaramlik tizimini anglatadi.
Deterministik - bu nazariy yondashuv yordamida qurilgan funktsional bog'liqliklar tizimi.
Deterministik modellar bir nechta afzalliklarga ega. Ko'pincha loyihalashda bo'lgani kabi, ular ishlab turgan ob'ekt yo'qligida ham ishlab chiqilishi mumkin. Ular ob'ektda yuz beradigan jarayonlarni sifat jihatidan aniqroq tavsiflaydi, hatto etarli miqdoriy jihatdan aniq model parametrlari mavjud bo'lganda ham.
Agar modellashtirish ob'ekti to'g'risidagi ma'lumot etarlicha yuqori to'liqlikka ega bo'lmasa yoki uning jiddiyligi tufayli barcha kirish harakatlarini model shaklida tasvirlab bo'lmaydi va kuzatilmaydigan o'zgaruvchilarning chiqish koordinatalariga ta'siri katta bo'lsa, u holda statik model ishlatiladi.
5. Model parametrlarining o'zgaruvchilarga bog'liqligi bo'yicha.
a) qaram (chiziqsiz).
b) mustaqil (chiziqli).
Agar modelning parametrlari (koeffitsientlari) o'zgaruvchiga bog'liq bo'lsa yoki ikkinchisi multiplikativ bo'lsa, u holda model chiziqli emas
Model kirish harakatlariga doimiy javob beradigan va model parametrlariga befarq bo'lmagan holda chiziqli deb hisoblanadi.
Miqdorlarning adetivligi - bu butun ob'ekt qiymatining qiymati har qanday narsaning qismlarga bo'linishi uchun butunning tegishli chastotalari qiymatlarining yig'indisiga teng bo'lgan xususiyatdir.
Qiymatlarning multiplikativligi - bu ob'ektning qismlarga har qanday bo'linishi uchun butun ob'ekt qiymatining qiymati butunning tegishli qismlari qiymatining qiymatiga teng bo'lgan xususiyatdir.
6. Modelning moslashuvchanligi bo'yicha.
a) moslashuvchan.
b) moslashmaydigan.
Adaptiv model - bu tuzilish va parametrlarning o'zgarishi mumkin bo'lgan model bo'lib, model va ob'ektning chiqish parametrlari o'rtasidagi xatolarning o'lchovi minimaldir
Ular qidirish va qidirishga bo'linadi.
Qidiruv modellarida avtomatik optimallashtiruvchi ob'ektning chiqish modellari orasidagi minimal xatolik o'lchovini olish uchun model parametrlarini o'zgartiradi.
2 Matematik modellashtirish sxemalari
Tizimning matematik modelini yaratishda asosiy yondashuvlar
Matematik modelni qurishda dastlabki ma'lumotlar, tizimlarning ishlash jarayoni o'rganilayotgan tizimning maqsadi va ishlash shartlari to'g'risidagi ma'lumotlardir. Ushbu ma'lumot tizimni modellashtirishning asosiy maqsadini belgilaydi. S talablar va ishlab chiqilgan matematik modelni shakllantirishga imkon beradi M.
Matematik sxema - bu tashqi muhit ta'sirini hisobga olgan holda, jarayonning mazmunli shaklidan rasmiy tavsifga o'tish jarayonida bog'lanish, ya'ni. zanjir mavjud: tavsifli model → matematik sxema → matematik model.
Har bir tizim S tashqi muhit bilan o'zaro aloqada tizimning xatti-harakatlarini va uning ishlash shartlarini aks ettiradigan xususiyatlar to'plami bilan tavsiflanadi ε .
Modelning to'liqligi asosan tizim tomonidan chegarani tanlash bilan tartibga solinadi S va tashqi muhit E.
Modelni soddalashtirish vazifasi ikkilamchi xususiyatlardan voz kechib, tizimning asosiy xususiyatlarini ta'kidlashga yordam beradi.
Keling, quyidagi belgi bilan tanishtiramiz:
1) Tizimga kirish ta'sirining to'plami
.
2) Atrof-muhit ta'sirining to'plami
.
3) tizimning ichki yoki ichki parametrlari to'plami

4) tizimning chiqish xarakteristikalari to'plami
Amaliy muammolarni hal qilishda kompyuterdan foydalanish uchun, avvalo, amaliy muammo rasmiy matematik tilga "tarjima qilinishi" kerak, ya'ni. haqiqiy ob'ekt, jarayon yoki tizim uchun u qurilishi kerak matematik model.
Mantiqiy va matematik inshootlardan foydalangan holda miqdoriy shaklda matematik modellar ob'ekt, jarayon yoki tizimning asosiy xususiyatlarini, uning parametrlarini, ichki va tashqi aloqalarni tavsiflaydi.
Uchun matematik modelni qurish bu zarur:

1. 
   haqiqiy ob'ekt yoki jarayonni diqqat bilan tahlil qiling;
   
2. 
   uning eng muhim xususiyatlari va xususiyatlarini ajratib ko'rsatish;
   
3. 
   o'zgaruvchilarni aniqlang i.e. qiymatlari ob'ektning asosiy xususiyatlari va xususiyatlariga ta'sir qiluvchi parametrlar;
   
4. 
   ob'ekt, jarayon yoki tizimning asosiy xususiyatlarining o'zgaruvchilar qiymatiga bog'liqligini mantiqiy va matematik munosabatlar yordamida (tenglamalar, tenglik, tengsizlik, mantiqiy va matematik inshootlar) tavsiflash;
   
5. 
   ajratib ko'rsatish ichki aloqalar cheklovlar, tenglamalar, tengliklar, tengsizliklar, mantiqiy va matematik inshootlardan foydalangan holda ob'ekt, jarayon yoki tizim;
   
6. 
   cheklovlar, tenglamalar, tengliklar, tengsizliklar, mantiqiy va matematik konstruktsiyalar yordamida tashqi aloqalarni aniqlang va ularni tavsiflang.
   

Matematik modellashtirish ob'ekt, jarayon yoki tizimni o'rganish va ularning matematik tavsifini tuzishdan tashqari quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. 
   ob'ekt, jarayon yoki tizimning xatti-harakatlarini taqlid qiluvchi algoritmni qurish;
   
2. 
   tekshirish modelning muvofiqligi va hisoblash, tabiiy tajribaga asoslangan ob'ekt, jarayon yoki tizim;
   
3. 
   modelni tuzatish;
   
4. 
   modeldan foydalanish
   

O'rganilayotgan jarayonlar va tizimlarning matematik tavsifi quyidagilarga bog'liq.

1. 
   haqiqiy jarayon yoki tizimning tabiati va fizika, kimyo, mexanika, termodinamika, gidrodinamika, elektrotexnika, plastika nazariyasi, elastiklik nazariyasi va boshqalar qonunlariga asoslanadi.
   
2. 
   haqiqiy jarayonlar va tizimlarni o'rganish va o'rganishning zarurligi va aniqligi.
   

Matematik modelni tanlash bosqichida quyidagilar belgilanadi: ob'ektning, jarayonning yoki tizimning chiziqsizligi va nomutanosibligi, dinamizm yoki statik, statsionar yoki statsionar emasligi, shuningdek o'rganilayotgan ob'ekt yoki jarayonning determinizm darajasi. Matematik modellashtirishda ular ob'ektlar, jarayonlar yoki tizimlarning o'ziga xos jismoniy tabiatidan qasddan chalg'itadilar va asosan ushbu jarayonlarni tavsiflovchi miqdorlar o'rtasidagi miqdoriy o'zaro bog'liqlikni o'rganishga e'tiborni qaratadilar.
Matematik model hech qachon ko'rib chiqilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizim bilan mutlaqo bir xil emas. Soddalashtirish, idealizatsiya asosida, bu ob'ektning taxminiy tavsifi. Shuning uchun modelni tahlil qilishda olingan natijalar taxminiydir. Ularning aniqligi model va ob'ektning moslik (muvofiqlik) darajasi bilan belgilanadi.
Odatda ko'rib chiqilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizimning eng oddiy, eng qo'pol matematik modelini qurish va tahlil qilishdan boshlanadi. Kelajakda, agar kerak bo'lsa, model yaxshilanadi, uning ob'ektga muvofiqligi yanada to'liqroq amalga oshiriladi.
Oddiy misolni olaylik. Stol usti sirtini aniqlash kerak. Odatda, buning uchun uning uzunligi va kengligi o'lchanadi, so'ngra olingan raqamlar ko'paytiriladi. Ushbu elementar protsedura aslida quyidagilarni anglatadi: haqiqiy ob'ekt (stol yuzasi) mavhum matematik model bilan almashtiriladi - to'rtburchak. Stol yuzasining uzunligi va kengligini o'lchash natijasida olingan o'lchamlar to'rtburchaklar bilan taqqoslanadi va bunday to'rtburchakning maydoni stolning kerakli maydoni sifatida olinadi.
Biroq, stol uchun to'rtburchaklar modeli eng sodda, eng qo'pol modeldir. Muammoga yanada jiddiy yondashishda, stol maydonini aniqlash uchun to'rtburchaklar modelini ishlatishdan oldin ushbu modelni tekshirish kerak. Tekshirishni quyidagicha amalga oshirish mumkin: stolning qarama-qarshi tomonlarini, shuningdek, uning diagonallarini uzunligini o'lchab, ularni bir-biri bilan taqqoslang. Agar kerakli aniqlik darajasi bilan qarama-qarshi tomonlarning uzunligi va diagonallarning uzunligi bir-biriga teng bo'lsa, unda stol yuzasi haqiqatan ham to'rtburchaklar sifatida qaralishi mumkin. Aks holda, to'rtburchaklar modeli rad etilib, umumiy to'rtburchak model bilan almashtirilishi kerak. Aniqlik uchun yuqori talablar mavjud bo'lsa, masalan, stol burchaklarining yaxlitlashini hisobga olgan holda, modelni yanada aniqroq qilish uchun yana borish kerak bo'lishi mumkin
Ushbu oddiy misol bilan, bu ko'rsatildi matematik model o'rganilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizim tomonidan aniq belgilanmaydi. Xuddi shu jadval uchun biz to'rtburchaklar modelini yoki murakkab to'rtburchak modelni, yoki to'rtburchaklar burchakli to'rtburchakni qabul qilishimiz mumkin. U yoki bu modelni tanlash aniqlik talabi bilan belgilanadi. Borayotgan aniqlik bilan model o'rganilayotgan ob'ekt, jarayon yoki tizimning yangi va yangi xususiyatlarini hisobga olgan holda murakkablashishi kerak.
Model-voqeliklarning soddallashgan ko‘rinishi. Matematik-model vaziyat yoki jarayonning matematik ifodalarda soddalashgan bayoni. Charls Leyv va Jeyms March modelga shunday ta’rif beradi:

“Model - bu haqiqiy dunyoning soddalashgan manzarasi. U haqiqiy dunyoning ba’zi hossalarini o‘zida jamlaydi, ammo model real dunyoning barcha xossalariga ega. Model ko‘pgina o‘zaro bog‘liq bo‘lgan dunyo to‘g‘risidagi farazlardan iborat. Har qanday manzara kabi model o‘zi aks ettirgan hodisadan sodda ko‘rinishga ega.”

Ilk bor matematik modellashtirish ijtimoiy fanlardan iqtisodiy fanlarga tatbiq etilgan. Aynan o‘sha vaqtda psixologiya biologiyaning ba’zi metodlarini o‘zlashtirib oldi, o‘z navbatida, biologiya bu metodlarni matematik fizika va kimyadan olgan edi. Politologiya bu ikki ilmiy fan izidan borib, 50-60 yillar davomida asta-sekin miqdoriy metodika tomoniga o‘tdi. Hozirgi vaqtda ijtimoiy xulq modelidan foydalanish nuqtai nazarida u faqat iqtisodiyotdan ortda qolmoqda.
Bu hayratlanarli bo‘lib ko‘rinishi mumkin, ammo siyosiy jarayonlar, haqiqatan ham, matematik qayta ishlovga yon bosuvchi qator husisiyatlarga ega.Ko‘pgina siyosiy qarorlarda sezilarli darajada iqtisodiy komponent bo‘ladi. Ham iqtisodiy, ham siyosiy jarayonlar noaniqlik, shuningdek, aniq chegaralov va raqobat sharoitda ratsional (maqsadga yo‘nalganlik) qaror qabul qilishni muhim tarkibiy qismi sifatida o‘z ichiga oladi. Matematik shaklda aks ettirsa bo‘ladigan o‘zgaruvchanlar sirasiga saylovlardagi ovoz berish natijalari, harbiy tayyorgarliklar (raketalar, tanklar va b. soni), so‘rov chog‘idagi siyosiy fikrlar kiradi. Umuman olganda, politalogiyada statistikadan foydalanish matematik fundamentga tayanadi. Bu sohada miqdoriy tadqiqotlardan matematik modelga o‘tishning orasi unchalik katta emas. Nihoyat, matematik modellashtirish miqdoriy operatsiyalar bilan cheklanmaydi, u siyosiy jarayonlarning sifat xarakteristikalariga ham oid bo‘lishi mumkin (saylovlarda qaror qabul qilish yoki saylovchilar ovozining taqsimoti va boshqalar).
Matematik modellar politaloglarga siyosiy jarayonlar xususiyatlarini osonlik bilan o‘rganishga yordam beradi. Matematik model­ning bir necha tenglamalarida ko‘pincha axborotning ulkan hajmi jamlangan bo‘lishi mumkin. Ko‘p vaziyatlarda siyosiy jarayonlarning kompyuteridagi imitatsiyasini qilishga imkoniyat bor. Matematik vositalardan foydalanib, politog mantiq, statistika, fizika, iqtisodiyot va fanning boshqa tarmoqlarida ishlab chiqilgan ko‘pgina metodlardan foydalanishi va ularni siyosiy xulqni o‘rganishda qo‘llashi mumkin va nihoyat, matematik modellar shakliga ko‘ra, aniq va eksplisit bo‘lib, voqealar o‘rtasidagi taxmin qilingan aloqalarga tegishli noaniqlikka yo‘l qo‘ymaydi.
Model yaratishning umimiy jarayonini muhokama qilaylik. Model yaratishdagi ilk qadam-indiktuv qadam bo‘lib, u modellashtirishi ke­rak bo‘lgan jarayonga oid kuzatuvlarni tanlab olishdan iborat. Ushbu boshlang‘ich qadamning tasavvur qilishning imkoniy yo‘l­laridan biri muammoni shakllantirishdan iborat, ya’ni nimani e’tiborga olish ke­rak, nimaga e’tibor bermasa bo‘ladi, degan masalani hal etish lozim. Modellashtirish, gipotezani tekshirishga ko‘ra, odatda o‘zga­ruv­chan­larning kam miqdorini taqozo etadi, chunki gipoteza o‘z­garuvchanning katta miqdoriga oid oddiy jarayonlarni (masalan, chiziqli regressiya) tahlil qiladi, modellarda esa o‘zgaruvchanlarning kam miqdoriga oid murakkab jarayonlardan foydalaniladi.
Ikkinchi qadamda, muammoni aniqlashdan noformal modelni yaratishga o‘tish nazarda tutiladi. Formal model saralab olingan kuzatishlarni tushuntira oluvchi, ammo ayni paytda yetarli darajada qat’iy ajratilmagan va ularning mantiqiy bog‘liqligi darajasini aniq tekshirib bo‘lmaydigan instirumentlar to‘plamidir. Mazkur bosqichda modellarni ishlab chiquvchilarning ko‘pchiligi, ayni ma’lumotlarni tushuntirishga yaraydigan bir qator noformal farazlarni ko‘rib chi­qadi, bu yo‘l bilan bir necha potensial modellarni tahlil etishadi va ulardan qaysi biri o‘rganilayotgan muammoni to‘la aks ettirishini hal qilishga urinishadi. Agar model asosidagi noformal nazariya asossiz bo‘lsa, unda uni hech qanday matematik usullar saqlab qola qolmaydi.
Modellashtirish bo‘yicha muayyan tajribani qo‘lga kiritgan tadqiqotchi odatda noformal modeldan uning kuzatuvlariga nisbatan mos keladiganini mavjud formal modellar orasidan izlashga o‘tadi. Formal model noformal modeldan shunisi bilan farqlanadiki, unda farazlarning hammasi matematik shaklda ifodalangan bo‘ladi. Tajribali chiquvchi ishlov berilgan modellarni “Bu vazifani hal qilish uchun tekislikka qator sifatida joylashgan mayda metal tishlar kerak bo‘lib, ularning borib-kelish harakatida taxtaning hujayraviy tuzilmasini buzish qobiliyatiga ega bolishi kerak” shaklidagi fikrdan “bu yerda arra zarur” degan fikrga o‘tishda qo‘llaydi.
Uchinchi qadam noformal modeldan matematik modelga o‘tish. Bunday o‘tish formal modelning bayoni va ayni g‘oya, jarayonlarni tasvirlashga qodir to‘gri keluvchi matematik strukturalarni izlashni o‘z ichiga oladi. O‘tish bosqichi o‘zida ikki xavfni jo etadi.
Birinchdan, noformal modellar ko‘p ma’nolilik tendensiyasiga ega va odatda, noformal modeldan matematik modelga o‘tishning bir qancha usullari mavjud, ammo bunda muqobil matematik modellar umuman o‘zgacha mazmunga ega bo‘lishi mumkin.
Ikkinchidan, xavf aniq matematik metodlardan foydalanishda kuzatiladigan implisit farazlarni noformal modelga qo‘shishda ko‘ri­nadi. Bu, statistik metodika va differensial hisob bor joyda ahamiyatli bo‘ladi. Ehtimollik, differensial va integral hisob nazariyasining muhim formulalari, matematik nuqtai nazardan o‘ta foydali bo‘lgan, ammo siyosiy va ijtimoiy hayot sharoitlariga muvofiq kelishi shart bo‘lmagan bir necha oddiy farazlarga tayanadi. Ijtimoiy xulqqa kelsak, ularni doimo ham teng darajada tatbiq etib bo‘lmaslik mumkin. Hatto, agar ba’zi aniq model avvaldan, ijtimoiy vaziyatlarni tasvirlashga chamalangan bo`lsa-da, ularga ehtiyotkorlik bilan murojaat qilish kerak.
Matematik model xususiyatlari tadqiqotchini formal nazariyaning ba’zi farazlarini unga yaqinlashtirishga sabab bo‘ladi. Boshqa tomondan, agar noformal nazariya fahmlangandek ko‘rinsa, matematik model esa aksincha, anglangandek ko‘rinsa, ushbu modelning qandaydir boshqa matematik versiyasini sinab ko‘rish darkor. Navbatdagi bosqich, formal modelning matematik ishlanmasi bosqichi bo‘lib, u matematik modellashtirishda hal qiluvchi bosqich hisoblanadi. Aynan shu yerda modelning dastlabki farazlari notrivial oqibatlarning formal rasmiy xulosasi uchun matematik modellarning barcha mantiqiy, algebraik, geometric differensial, ehtimoliy, kompyuterli shakllari qo‘llaniladi. Bu bosqich modellashtirishning deduktiv yadrosi hisoblanib, haqiqatga yaqin farazlardan notrivial va kutilmagan xulosalarni izlaydi. Qo‘lga kiritilgan xulosalar yana bir jarayonidan o‘tadi – bu gal matematik tildan tabiiy tilga qayta o‘tadi. O‘tish muayyan axborotlarni va farazlarni qo‘shish va yo‘qotish orqali amalga oshadi. Modellashtirish ko‘pincha kutilmagan natijalarni hosil qiladiki, ular avval kutilgandan ham qiziqroq bo‘lishi mumkin. Keyin tadqiqotchi modelga muayyan aniqlikni kiritish maqsadida modellashtirishning dastlabki bosqichiga qaytmog‘i lozim.
Modelning asoslanganligi darajasini aniqlash uchun zarur bo‘la­digan, modellashtirishning yakuniy bosqichi sifatida maydonga chi­qadigan imperik tekshiruvdan oldin formal taqqoslash va modelni aniqlashtirishga ko‘p marotaba qaytish mumkin. Impirik tekshiruv doimo ham kerak bo‘lavermaydi, ba’zi vaziyatlarda dastlabki faraz­lar jarayonni batafsil bayon qiladi (masalan, saylov jarayonining qoidalari) va model xulosalarini tekshirishga hojat bo‘lmaydi.
Ijtimoiy jarayonlarning barcha modellari tasodifning sezilarli ele­mentlarini e’tiborda tutilganligi sababli, empeirik testlar modelning bashorat qiluvchi kuchini aniqlashga yordam beradi.