Matematik modellashtirishning tipik masalalari

3- Kimyoviy reaktorlarni modellashtirish

Математическое описание и моделирование химической реакции Изменение концентраций реагентов в ходе реакции определяется кинетикой химической реакции. Если механизм химической реакции известен, то математическое описание кинетики можно представить в матричной форме. Процедура составления математического описания в матричной форме достаточно хорошо формализована. Рассмотрим ее на конкретном примере. Пусть дана химическая реакция, протекающая по следующей схеме:

Мы видим, что реакция протекает в четыре стадии, в ней участвуют шесть компонентов. Представим задание в матричной форме

где аij – стехиометрический коэффициент перед компонентом реакции, i – номер вещества, j – номер стадии реакции
Моделирование сложной химической реакции удобно реализовать в системе визуального моделирования Simulink, которая входит в состав математического пакета MATLAB. Решение поставленной задачи в Simulink осуществляется в соответствии с технологией, рассмотренной в лабораторной работе №2. За основу может быть принята S-модель решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементы вектора можно вычислить с помощью блоков Fcn (например, для решения системы (3.9) таких блоков будет 4), а объединить их в вектор - с помощью мультиплексора (см. рис. 3.1). Для ввода матрицы стехиометрических коэффициентов и вектора скоростей стадий химической реакции следует использовать блоки Constant. Для перемножения матриц и векторов используют блок Product, параметру Multiplication которого задается значение «Element-wise» для перемножения вектора и матрицы и «Matrix» для перемножения двух матриц.

Решением математического описания КРИС является изменение концентраций компонентов в реакторах каскада с течением времени. Моделирование процесса пуска позволяет определить время выхода КРИС на стационарный режим (время переходного процесса) и концентрации в реакторах и на выходе из каскада в стационарном режиме. S-модель реактора идеального смешения строится на базе модели химической реакции (рис. 3.3). Блоки, моделирующие химическую реакцию, целесообразно объединить в подсистему. Для выделения части S-модели в подсистему необходимо с помощью мыши обрисовать общим контуром выделяемые блоки, затем в меню команды Edit выбрать Create subsystem.

Входные значения концентраций компонентов реакции вводятся в блоке Constant. Для суммирования или вычитания векторов используются блоки Sum. Умножение разности концентраций на величину 1 преб τ осуществляется в блоке Gain. В нашем примере преб τ = 10 мин. 42 При составлении S-модели КРИС можно оформить S-модель РИС в виде подсистемы: вход подсистемы (блок In) устанавливается на информационном потоке входной концентрации, выход (блок Out) – на информационном потоке выходной концентрации. Тогда S-модель КРИС можно представить как последовательное соединение подсистем (рис. 3.4). Очевидно, что число подсистем равно числу реакторов в каскаде. На вход первой подсистемы подаются входные концентрации, на выходе последней подсистемы снимаются концентрации на выходе из каскада.

4-Apparatlardagi oqimlar strukturasini modellashtirish

Для разработки модели контактного устройства проектировщик может использовать различные программные системы 3D моделирования, как внутренние компоненты среды Ansys – Design Modeler, так и внешние, например, Компас, AutoCad. Для гидродинамического моделирования структуры потоков жидкости и газа в барботажном слое контактного устройства используется среда Fluent системы Ansys. Первоначально проектировщик составляет трехмерную твердотельную полноразмерную (3D) модель в среде моделирования Компас или AutoCad, Ansys. Для упрощения задачи моделирования контактного устройства в силу симметрии движения потоков для примера рассматривается модель половины ситчатой тарелки диаметром 700мм, ограниченная областью барботажного слоя без переливных устройств [1, 2]. Затем проект контактного устройства в виде файла формата (sat) передается в программный комплекс Ansys. В области барботажного слоя методом конечных элементов проводится построение сетки (Ansys Mesh), назначаются входные, выходные поверхности, стенки, начальные условия (количество ядер, точность расчета), выбирается тип решаемой задачи (стационарная, нестационарная), для барботажного слоя Multiphase Model (модель Эйлера), стандартная k   модель, задаются граничные условия на стенке, оси симметрии, входных и выходных областях газа и жидкости, вводятся начальные значения для инициализации решения (скорость диссипации энергии, масштаб турбулентных пульсаций, кинетическая энергия). Расчет гидродинамических параметров ведется по нестационарным уравнениям переноса: уравнение сохранения импульса в инерциальной системе отсчета:

В программной среде моделирования Компас создана модель ситчатой тарелки диаметром 700 мм и выполнено гидродинамическое моделирование в вычислительной среде Fluent системы Ansys. Область барботажного слоя покрыта трехгранными конечными элементами, число которых приведено в таблице 1. Для моделирования двухфазной среды используется Multiphase Model (Эйлера). В качестве сплошной фазы используется вода, в качестве дисперсной фазы – воздух. Задается шаг дискретизации по времени 4 t 10    с, число шагов и минимальное количество итераций на каждом шаге n =50.




Начальные условия получены в результате расчета параметров по приведенным выражениям

По высоте барботажного слоя (по координате z ) наблюдаем две характерные области: область ограниченная плоскостью тарелки ( z  0 ) и высотой факела, которая составляет около 10 мм, где расходуется основная часть кинетической энергии газа и наблюдаются высокие градиенты скорости жидкости и газа. Продольная составляющая скорости u x в этой области отрицательна во всех точках по x  50,150, 350, 450 и y  0, 260 (вдоль оси и царги) (рис. 3). Следовательно, по дну тарелки от сливного порога к приемному рециклом возвращается часть жидкости. Расход этой жидкости определяется по скорости в середине сечения потока ( hф / 4).

5-SIMULINK paketida gidrodinamik jarayonlarni modellashtirish

Чтобы спроектировать систему, отвечающую поставленным целям, необходимо иметь её математическую модель. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение системы. Поскольку все реальные системы имеют динамические режимы, то для их описания следует использовать дифференциальные уравнения. В рамках данного учебного пособия для простоты будем пренебрегать волновыми явлениями, поэтому ограничимся рассмотрением лишь обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящее время наибольшее распространение получили два способа теоретического исследования: аналитический способ и метод компьютерного моделирования. Анализ и синтез САР, разработанных на основе любой элементной базы, традиционно выполняется линейными теоретическими методами. Универсальность, внутренняя непротиворечивость, наглядность и другие достоинства линейных методов теории автоматического регулирования привели к их широкому распространению. В компьютерном моделировании складывается несколько иная ситуация. Изменяются приоритеты: главным становится не получение любой ценой решения в виде аналитического выражения, а преобразование исходных уравнений (в том числе аналитическими методами) и виду удобному для ЭВМ и последующий машинный анализ, позволяющий «выжать» максимум полезных свойств из моделируемой системы. Здесь преобладают не теоремы, а алгоритмы. Математические модели современных гидромеханических систем являются, как правило, нелинейными и нестационарными и, к тому же, стохастическими. Устройства систем содержат не только естественные нелинейности (нечувствительность, насыщение, различного рода ограничения и пр.), но и искусственные, специально введенные для коррекции свойств или для динамического перестроения структуры. Аналитические методы здесь не работают. Число нелинейных задач, доведенных до конца аналитическими методами, пренебрежимо мало. Компьютерное моделирование становится, в такой ситуации, практически безальтернативным. И всё же исследование самых общих движений, и первоначальное моделирование можно проводить с использованием пусть приближённых, но хорошо изученных и апробированных линейных методов. Линейные модели САР. Систему можно определить как линейную, если она подчиняется принципу суперпозиции и гомогенности, т. е. если к ней приложить сумму двух возмущений 1 2 x x  , то реакция системы должна равняться сумме реакций 1 2 y y  , и если входная переменная умножается на константу, то реакция системы должна измениться в такое же число раз. Например, система, характеризуемая зависимостью 3 y x  , не является линейной, так как её графическое представление имеет форму кубической параболы и для неё не выполняется принцип суперпозиции. Если рассматриваемую непрерывную функцию в окрестности рабочей точки 0 x x  разложить в ряд Тейлора и ограничиться первым членом ряда, то можно получить хорошую аппроксимацию исходной кривой 2 0    y 3x x , которая является её касательной в точке линеаризации. Возможность линеаризации физических систем позволяет использовать аппарат интегрального преобразования Лапласа и, таким образом, заменить достаточно сложное решение дифференциального уравнения относительно простым решением алгебраических уравнений. Пусть линеаризованное дифференциальное уравнение имеет вид:
Дифференциальные уравнения составляются на основании тех физических законов, которые определяют протекание процессов в изучаемом элементе. Чаще всего исходными являются фундаментальные законы сохранения, записанные применительно к рассматриваемому явлению. Для гидромеханических устройств таковыми являются уравнения расходов жидкости, протекающей через дросселирующие сечения и уравнения движения для подвижных элементов. Принципиальная схема, допущения, размерная модель. В качестве объекта демонстрации методов перехода к обобщённым переменным принимается простое, но типичное для САР устройство – гидромеханический следящий привод, принципиальная схема которого изображена на рис. 3

Следуя первой заповеди экспериментатора, делать лабораторную установку как можно проще, примем самые жесткие допущения: – параметры считаются сосредоточенными; – золотник идеальный (перекрытие и радиальный зазор отсутствуют, симметричные щели); – коэффициенты расхода щелей – равны и постоянны; – потери в трубопроводах отсутствуют; – давление питания поддерживается постоянным; – давление слива равно нулю; – кинематика обратной связи, соединения и вся другая конструкция − абсолютно жёсткие; – рабочая жидкость неразрывна и невесома. При сделанных допущениях математическая модель принимает вид:

6- Issiqlik almashinuv jarayonlarini modellashtirish