Matematik nazariyaning xossalari: zidsizlik, toʻliqlik, yechilish muammolari reja: kirish 1

2-hossa. ├ bo‘lishi uchun ning qandaydir chekli qism to‘plami topilib, ├ bo‘lishi zarur va etarlidir.
3-hossa. Agar ├ bo‘lib to‘plamning ixtiyoriy elementi uchun ├ bo‘lsa, u holda ├ bo‘ladi.
Ikkinchi va uchinchi xossalarning iboti ham xuddi birinchi xossadagidek bevosita ├ ning ta’rifidan kelib chiqadi.
├ ning bu uchta xossasidan kelajakda juda ko‘p marta foydalanamiz.

Mulohazalar xisobi uchun aksiomalar sistemasi.
Biz endi mulohazalar xisobining aksiomatik nazariyasini kiritamiz.
(1) ning simvollari sifatida , va butun musbat indeksli propozitsional xarflarni olamiz: .
Bu erda  va lar primitiv bog‘lovchilar deyiladi. Mulohazalar xisobining muhim tushunchasi hisoblangan formula tushunchasini kiritamiz.
(2) (a) Barcha propozitsional harflar formulalardir:
(b) agar va lar formulalar bo‘lsa, u holda lar ham formulalardir.
(3) nazariyaning formulalari qanday bo‘lishidan qat’iy nazar quyidagi formulalar ning aksiomalaridir:

(4) YAgona keltirib chiqarish qoidasi bo‘lib, u ham bo‘lsa, modus ponens qoidasi xizmat qiladi: va formulalarning bevosita natijasi dir. Bu qoidani qisqacha ko‘rinishda belgilaymiz.

Xuddi mulohazalar algebrasigidek qavslarni soddalashtirishga kelishib olaylik.
nazariyaning cheksiz aksiomalari to‘plami faqat yuqoridagi 3 ta aksiomalar qolini orqali beriladi.
Har bir formulaning aksioma bo‘lish yoki bo‘lmasligini osongina tekshirish mumkin va shuning uchun effektiv aksiomalashtirilgan nazariyadir.
2.2ZIDSIZLIK MUAMMOSI.

1- ta’rif. Agar T nazariyada shunday S mulohaza topilib, o’zining inkori S bilan birga teorema bo ‘lsa, u holda T ziddiyatga ega bo‘lgan nazariya deb ataladi. Aks holda T zidsiz nazariya deyiladi.

Agar T nazariyada S mulohaza topilib, u o‘zining inkori S bilan birga teorema bo’lmasa, shunda va faqat shundagina u zidsiz nazariya bo‘ladi.

20. nazariyada keltirib chiqarish qoidasining biri sifatida xulosa qoidasi mavjud bo’lganidan, ziddiyatga ega bo‘lgan nazariyaning istalgan mulohazasi teorema bo’ladi. Haqiqatan ham, T nazariyaning istalgan A mulohazasi uchun S —» (S —> A ) ifoda teorema bo’ladi, chunki bu mulohaza S —> (S —> A ) tavtalogiyadir. Bu yerda S va S ning teorema ekanligini hisobga olgan holda ikki marta xulosa qoidasidan foydalanib, A teoremadir degan xulosaga kelamiz.

    
    

Aksiomatik nazariyalarda zidsizlik muammosini ko‘p hollarda model tushunchasi orqali yechish mumkin. Haqiqatan ham, agar T nazariya ziddiyatga ega bo‘lsa, u holda uning modeli ham ziddiyatga ega bo’ladi, chunki nazariyaning bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan juft teoremalari model holida bir-biriga qarama-qarshi bo‘lgan mulohazaga aylanadi. Demak, nazariya zidsiz bo’lishi uchun uning ziddiyatdan holi bo’lgan modeli mavjudligini ko‘rsatish kerak. Mulohazalar hisobining zidsizligini xuddi shu sxema orqali isbot qilgan edik.

Agar T nazariya uchun shunday interpretatsiyani topish mumkin bo’lsaki, uning interpretasiyasi chekli to‘plamdan iborat bo‘lsa, u holda bu interpretatsiyada ziddiyat mavjud emasligi masalasini yechish to‘g‘ridan-to‘g‘ri shu chekli to‘plamni ko‘rish bilan hal bo’ladi.

Masalan, bir elementli to‘plam a elementga ega bo’lsin. Agar bu to‘plamda a -a —a amali aniqlangan bo’lsa, u holda u ziddiyatga ega bo’lmagan guruh nazariyasining modeli bo’ladi. Demak, guruh nazariyasi zidsizdir. Ammo, ko‘pincha modelning zidsizligini isbotlash ancha murakkab fikr yuritishni talab qiladi. Bu, ayniqsa, T nazariya faqat cheksiz modellarga ega bo’lgan hollarda ko'proq yuz beradi.

Masalan, agar Evklid geometriyasining tushunchalari Lobachevskiy1 geometriyasining interpretatsiyasi sifatida foydalanilsa, u holda Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi masalasini Evklid geometriyasining zidsizligi masalasiga keltirish mumkin.
Shuni ta’kidlash kerakki, Evklid geometriyasining zidsizligi va haqiqiy sonlar nazariyasining zidsizligi hozirgacha isbot qilingan emas.