Математик программалаштириш-нинг махсус масалалари Ўйинлар назарияси Чизиқсиз программалаштириш

Чизиқсиз программалаштириш масаласиини график усулда ечиш. Чизиқсиз программалаштириш масаласининг геометрик талқини, уни текисликда геометрик тасвирлашдан иборат. Чизиқсиз программалаштириш масаласи, чизиқли программалаштириш масаласига нисбатан кенгроқдир. Чизиқсиз программалаштириш масаласида, чегаравий шартлари чизиқли, мақсад функцияси чизиқсиз бўлган ҳолдаги натижалар кўп олинган. Бундай ҳолда ҳам, масаланинг оптимал ечими жуда тор мақсад функциялари учун, олинган. Чизиқли программалаштириш масаласида экстремум нуқталар, ечимлар кўпбурчагининг учларида бўлса, чизиқсиз программалаштириш масаласида бу оптимал ечимлар соҳанинг ичида, қирраларида ёки учларида бўлиши мумкин. Шунга асосланиб, чизиқли программалаштириш масаласи усулларини қўллаш учун, чизиқсиз масалада, мақсад функциясига қўшимча чегаралар қўйиш талаб этилади.
Агар чизиқсиз масалада чегаравий шартлар ҳам чизиқсиз бўлса, оптимал ечимни аниқлаш янада қийинлашади. Бундай ҳолда, оптимал ечимни аниқлаш учун, мақсад функция ва чегаравий шартлардаги функциялар маълум бир хоссаларга эга булиши зарур.
Чизиқсиз программалаштириш масаласининг оптимал ечимини график усулда топиш. Масала икки ўзгарувчидан иборат бўлганда, уни график усулда ечиш мумкин. График усулда, масаланинг мумкин бўлган ечимлар соҳасини геометрик тасвири ва бу соҳада мақсад функциянинг экстремумини аниқлашдан иборат. Лекин, мумкин бўлган ечимлар соҳаси шакли ихтиёрий шаклда, ҳатто иккита ва ундан кўп қисмлардан иборат бўлиши ҳам мумкин.
График усулда масалалар ечиш.
Мисол. Қуйидаги чегаравий шартларда

мақсад функциянинг глобал экстремумларини аниқланг.

Ечиш. Мумкин бўлган ечимлар соҳаси – радиуси 4 тенг бўлган, биринчи чоракда ётган, доиранинг бир қисмидан иборат (1 - расм).
О
1 - расм
Мақсад функциянинг сатҳ чизиғи, бурчак коэффициентлари -2 га тенг бўлган, параллел тўғри чизиқлардан иборат. Глобал минимум О(0,0) нуқтада, глобал максимум эса – сатҳ чизиғи ва айлана туташган А нуқтада ётади. А нуқта орқали сатҳ чизиғига перпендикуляр бўлган тўғри чизиқ ўтказамиз. Бу тўғри чизиқнинг бурчак коэффициент ½ га тенг, тенгламаси эса дан иборат бўлиб, у координаталар бошидан ўтади.
Ушбу тенгламалар системаси ҳосил бўлади

Бундан қуйидагини ҳосил қиламиз

Демак, глобал минимум нолга тенг бўлиб, у О(0, 0) нуқтада эришади. Глобал максимум га тенг бўлиб, у нуқтада эришади
Мисол. Қуйидаги чегаравий шартларда

мақсад функциянинг глобал экстремумини топинг.
Ечиш. Бу масалада мумкин бўлган ечимлар тўплами OABD кўпбурчакдан иборат (2 - расм). Сатҳ чизиғи, маркази нуқтада бўлган айланадан иборат. Мақсад функция максимал нуқтасига D(9; 0) нуқтада, минимал қийматига нуқтада эришади.