Matematik statistikaning asosiy masalalari

Bosh to’plam, tanlanma to’plam. Faraz qilaylik, biror territoriyadagi sizot suvlar chuqurligini aniqlash vazifa qilib qo’yilgan bo’lsin. Buning uchun o’sha territoriyaning turli joylarida ma’lum chuqurlikda bir nechta maxsus quduqlar qazilib, o’lchash ishlari olib boriladi va o’sha territoriyadagi sizot suvlarni o’rtacha chuqurligini aniqlash mumkin bo’ladi. Shu territoriyaning hamma nuqtalarida yuqoridagi kabi ishlarni bajarish amaliy nuqtayi nazardan mumkin bo’lmaydi.Yoki, ma’lum paxta maydonidagi ko’saklarning o’rtacha og’irligini hisoblash masalasini ko’raylik. Buning uchun o’sha maydonning turli joylaridan teng miqdordagi ko’saklarni yig’ib olib, ularning og’irliklarini o’lchash va shu maydondagi ko’saklarning o’rtacha og’irligi tog’risida fikr yuritish mumkin. Tekshirishning bunday usuli tanlanma usul deyilib, yig’ib olingan kuzatish natijalari tanlanma to’plam deyiladi. Bu misollarda territoriyaning barcha nuqtalaridagi sizot suvlarining chuqurligi kuzatilgan paxta maydonidagi barcha ko’saklar to’plami bosh to’plam deyiladi. Shunday qilib tanlanma to’plam deb, tasodifiy ravishda olingan obyektlar to’plamiga, bosh to’plam deb esa tanlanma to’plam ajratib olinadigan obyektlar to’plamiga aytiladi.
Bosh to’plam yoki tanlanma to’plamning hajmi deb bu to’plamdagi obyektlar soniga aytiladi. Masalan, yuqoridagi birinchi misolda sizot suvlarning chuqurligini aniqlashda 20 ta nuqtada turli vaqtlarda 5 ta o’lchash olib borilgan bo’lsa, tanlanma to’plamning hajmi 100 ga teng bo’ladi. Bosh to’plam hajmini N, tanlanma to’plam hajmini esa n bilan belgilaymiz. Tanlanmalarni ikki usulda olishimiz mumkin. Agar bosh to’plamdan tanlanma to’plam ajratib, bu to’plam ustida kuzatish olib borilgandan so’ng, bu tanlanma to’plam keyingi tanlashdan oldin yana bosh to’plamga qaytarilsa va keyin yana tanlanma olinsa va h. k. bunday tanlash usuli takroriy tanlanma deyiladi. Agar bosh to’plamdan tanlanma to’plam ajratib, bu to’plam ustida kuzatish olib borilgandan so’ng bosh to’plamga qaytarilmasa, bunday tanlash usuli takroriy bo’lmagan tanlanma deyiladi. Amaliyotda ko’pincha takroriy bo’lmagan tanlab olish usulidan foydalaniladi. Albatta bu ikki tanlab olish usulida ham tanlanma to’plam bosh to’plamning barcha xususiyatlarini saqlagan holda olinishi kerak, ya’ni tanlanma to’plam bosh to’plamga ,,o’xshash’’ bo’lishini ta’minlaydigan qilib tanlash lozim. Agar tanlanma to’plam bosh to’plamni deyarli barcha xususiyatlarini o’zida saqlasa, u holda bunday tanlanma reprezintativ (vakolatli) tanlanma deyiladi.
Reprezintativ tanlanma hosil qilish uchun biz tanlanmani tasodifiy qilib tuzamiz. Tanlab olish usuli bosh to’plamning bizni qiziqtiradigan belgisiga hech qanday ta’sir qilmaydi va bosh to’plamning har bir elementi tanlanmada bir xil imkoniyat bilan qatnashishi ta’minlanadi. Agar tanlanma to’plam reprezintativligini saqlamasa, u holda tanlanma to’plam ustida chiqarilgan xulosani bosh to’plamga tatbiq qilish noto’g’ri xulosaga olib kelishi mumkin.
Misol. 1936-yili AQSH prezidentligiga F.D.Ruzvelt nomzodi va A.M.Landon nomzodi ko’rsatiladi. Amerika jurnallaridan biri bu ikki nomzoddan qaysi birining prezident bo’lishi mumkinligini oldindan aytmoqchi bo’lgan, buning uchun bosh to’plam sifatida barcha saylovchilarni, tanlanma sifatida xususiy telefonlar qayd qilingan kitobdan – ma’lumotnomadan tavakkaliga 4 million kishining familiyasini ajratadi va ularni fikrini bilish uchun har biriga xat yozadi hamda javoblarni yig’ib ko’rgach, A.M Landon prezident bo’lishi mumkinligini e’lon qiladi. Shu vaqtda amerikalik sotsiologlar Gellen va Rouper bosh to’plamdan faqat 4 ming saylovchini ajratib oldilar. Saylovchilarni ajratib olishda ularning jamiyatdagi tutgan o’rinlari, sotsial tengsizliklar, saylovchilarning jamiyatdagi nisbati kabi faktorlarga e’tibor berganlar. Bu sotsiologlarning tanlanmasida reprezintativlik saqlangan. Natijada ular bu 4 ming saylovchining fikri bo’yicha saylovda F. D. Ruzvelt saylanishi mumkinligini aytadilar. Saylov o’tgandan so’ng Gellen va Rouperning fikri tasdiqlanadi. Birinchi holda tanlanma to’plamning hajmi katta bo’lgani bilan reprezintativlik saqlanmagani uchun noto’g’ri xulosa chiqarishga asos bo’lgan. Bu misoldan ko’rinadiki, tanlanma to’plamni to’g’ri tanlagan holda bosh to’plam haqida fikr yuritilsa, matematik statistikaning xulosalari to’g’ri bo’ladi.