Matematik tahlil

MATEMATIK TAHLIL

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

IV Bob. Differensiallash

4.1. Funksiyaning hosilasi

Hosila tushunchasi birinchi qarashda o'zaro bog'liq bo'lmagan ikki masala tufayli vujudga kelgan. Bu masalalarning birinchisi harakatlanayotgan jismning tezligini aniqlash bo'lsa, ikkinchisi esa, biror chiziqqa o'tkazilgan urinmani topishdan iborat. Aslida bu ikki masala o'zaro uzviy bog'liqdir, chunki nuqtaning tezligi bu nuqta harakati traektoriyasiga urinma bo'lgan vektordir.

1. 
   Tezlik. Nuqtaning to'g'ri chiziq bo'ylab harakatini qaraylik. Bu to'g'ri chiziqni
   

biz koordinatalar o'qi, ya'ni haqiqiy sonlar to'plami deb qaraymiz. Faraz qilaylik, t vaqt momentida nuqtaning koordinatasi x(t) bo'lsin. Shu nuqta harakatining tezligini topamiz.
Biror ∆t vaqt oralig'idan keyin nuqta x(t+∆t) koordinataga ega bo'ladi. Demak, nuqta t dan t + ∆t gacha o'tgan vaqt ichida x(t + ∆t) − x(t) yo'lni

^vo^'r

o'rtacha tezlik bilan bosib o'tadi.

₌ x(t + ∆t) − x(t)
∆t

(4.1.1)

Biz nuqtaning t momentdagi tezligini tahminan yuqorida hisoblangan (4.1.1) o'rtacha tezlikka teng deb hisoblasak bo'ladi. Darhaqiqat, fizik mutaxasis tahminan degan so'zni tashlab yuborib, (4.1.1) ifodani nuqtaning izlanayotgan tezligi deb hisoblagan bo'lar edi. Biroq, nuqtaning istalgan vaqt momentidagi tezligi keyin nima bo'lishiga bog'liq emasligi tabiiy bo'lsada, ammo, ravshanki, (4.1.1) o'rtacha tezlik ∆t oraliq qiymatga bog'liqdir. (Shuni qayd etish joizki, XX asrdagi fan taraqqiyoti fizik mutaxasisning o'z nuqtai nazarini himoya qilishiga asos borligini ko'rsatdi.)
Endi ∆t vaqt oralig'ini kichiklashtira boshlab, (4.1.1) kasr o'zgarishini kuzataylik. Bunda, albatta, maxraj nolga intiladi, lekin, shu bilan birga, x(t) ni t ning uzluksiz
funksiyasi deb qarasak, kasr surati ham nolga intiladi. Bunda qaralayotgan kasr biror v soniga yaqinlashishi ham mumkin. Aynan shu son nuqtaning t vaqtdagi tezligidir, ya'ni:

v = lim
∆t→0
x(t + ∆t) − x(t) _{. (4.1.2)}
∆t
1

Shu paytgacha tezlik tushunchasi to'g'risida gapirganda uning ma'nosini aniqlashtirmagan edik. Endi esa biz (4.1.2) munosabatni to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qilayotgan

nuqta tezligining ta'rifi deb qarasak bo'ladi.

2. 
   Urinma. Eslatib o'tamiz, biror (a, b) intervalda aniqlangan f funksiyaning grafigi deb R² koordinatalar tekisligidagi koordinatalari (x, f (x)) bo'lgan nuqtalar to'plamiga aytilar edi. Aniqrog'i, f funksiyaning Γ(f ) grafigi quyidagi
   

Γ(f ) = {(x, y) ∈ R² : y = f (x), a < x < b} (4.1.3)
to'plamdan iborat.
Faraz qilaylik, (c, f (c)) va (c + h, f (c + h)) nuqtalar f funksiya grafigining ikkita har xil nuqtalari bo'lsin. Shu ikki nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini yozamiz:

−
y = ^{f(c + h) − f(c)}(x c) + f (c). (4.1.4)