Matematik tahlil

f ⁽³⁾(c)

( )
_3! x − c
³ + · · ·+

2!
_{+ f} (2k−2)<sub>(c)(


)2k−2 + f</sub> (2k−1)_(ξ)(
)2k−1

(2k − 2)!
tenglik o'rinli bo'ladi.
x − c
(2k − 1)!
x − c
(4.8.7)

Endi, (4.8.6) shartni e'tiborga olsak, (4.8.7) dan

_f (2k−1)_(ξ)

2k−1

ξ − c

f (x) − f (c) =
munosabat kelib chiqadi.
(2k − 1)! ^{(x − c)}
, 0 < < 1, (4.8.8)
x − c

Aniqlik uchun, 2k - tartibli hosila f ^(2k)(c) > 0 shartni qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz. 4.3.1 - Tasdiqqa asosan, bu tengsizlik oldingi f ^(2k−1)(x) hosilaning c nuqtada o'sishini anglatadi, ya'ni c nuqtadan chapda u c nuqtadagi qiymatidan
kichik qiymat qabul qiladi va c nuqtadan o'ngda esa, bu hosila c nuqtadagi qiymatidan katta qiymat qabul qiladi. Teoremaning shartiga ko'ra f ^(2k−1)(c) = 0 va, bundan tashqari, (4.8.8) da ξ nuqta c va x nuqtalar orasida yotadi. Shularni hisobga olsak,
quyidagi shartga ega bo'lamiz:


x < c da f ^(2k−1)(ξ) < 0 bo'ladi va x > c da f ^(2k−1)(ξ) > 0 bo'ladi.
(4.8.9)
Demak, (x − c)^2k−1 funksiyaning toqligi tufayli,
f ^(2k−1)(ξ)(x − c)^2k−1 > 0, x c.
Shunday ekan, (4.8.8) dan

kelib chiqadi.
f (x) > f (c), x c

Ravshanki, bu tengsizlik c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi ekanini anglatadi.
Teorema f ^(2k)(c) < 0 bo'lgan holda ham xuddi yuqoridagidek isbotlanadi. Q.E.D.

2. 
   Funksiya grafigining qavariqligi. Biror (a, b) intervalda differensiallanuvchi bo'lgan f funksiyani qaraymiz. Eslatib o'tamizki, (4.8.1) ta'rifga ko'ra, (a, b) intervaldan olingan istalgan c uchun bu funksiya grafigining mos nuqtasini (c, f (c)) ko'rinishda yozish mumkin.
   

Qaralayotgan funksiya differensiallanuvchi bo'lgani uchun, uning grafigi har bir nuqtada urinmaga egadir. Chunonchi, agar c nuqta (a, b) intervalning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsa, grafikning (c, f (c)) nuqtasidan o'tkazilgan urinma quyidagi tenglamaga ega:


K(x) = f (c) + f ^′(c)(x − c). (4.8.10)
Boshqacha aytganda, f funksiya grafigining (c, f (c)) nuqtasidan o'tkazilgan urinma (4.8.10) funksiyaning grafigi bilan ustma-ust tushadi.
Agar (a, b) intervalning ixtiyoriy x nuqtasi uchun


f (x) ≤ f (c) + f ^′(c)(x − c), a < x < b, (4.8.11) tengsizlik bajarilsa, u holda f funksiya grafigi o'zining (c, f (c)) nuqtasidan o'tkazilgan urinmadan pastda yotadi deyiladi.

≤ ≥
Agar (4.8.11) da belgini belgiga almashtirsak, biz funksiya grafigi urinmadan tepada yotishining shartini olamiz.

Ta'rif. Agar biror intervalda differensiallanuvchi funksiyaning grafigi har qanday urinmadan pastda yotsa, bu grafikning qavariqlik yo'nalishi yuqoriga qaragan deb ataladi.

Shunga o'xshash, agar funksiya grafigi har qanday urinmadan yuqorida yotsa, bu grafikning qavariqlik yo'nalishi pastga qaragan deyiladi.
Qavariqlik yonalishi ikkinchi tartibli hosila ishorasi yordamida aniqlanishi mumkin.

2. 
   - Teorema. Berilgan f funksiya (a, b) intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega bo'lsin. U holda,
   

1. 
   
   ≥
   agar f ^′′(x) 0 bo'lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo'nalishi pastga qaragan bo'ladi;
   
2. 
   
   ≤
   agar f ^′′(x) 0 bo'lsa, f funksiya grafigining qavariqlik yo'nalishi yuqoriga qaragan bo'ladi.
   

Isbot. Faraz qilaylik, c nuqta (a, b) intervalning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Teylor formulasiga ko'ra,

2!
f (x) = f (c) + f ^′(c)(x − c) + ^f ′′^(ξ) (x − c)². (4.8.12)
Agar ikkinchi tartibli hosila manfiy bo'lmasa, (4.8.12) dan


f (x) ≥ f (c) + f ^′(c)(x − c)
tengsizlikni olamiz.
Bu tengsizlik f funksiya grafigi urinmadan yuqorida yotishini anglatadi. Demak, uning qavariqlik yo'nalishi pastga qaragan ekan.
Agarda f ^′′ ≤ 0 bo'lsa, isbot xuddi yuqoridagidek bo'ladi. Q.E.D.

3. 
   Bukilish nuqtalari. Funksiya grafigining qavariqligi funksiya aniqlanish sohasining turli intervallarida turli yonalishlarga ega bo'lishi mumkin. Berilgan funksiyaning grafigini chizishda qavariqlik yonalishlari o'zgaradigan nuqtalar muhim ahamiyatga egadirlar.
   

−
Ta'rif. Agar shunday δ > 0 mavjud bo'lsaki, ikki (c δ, c) va (c, c + δ)
intervallardan birida f funksiya grafigining qavariqlik yo'nalishi pastga va boshqasida yuqoriga qaragan bo'lsa, grafikning (c, f (c)) nuqtasi bukilish nuqta deb ataladi.

2.