Matematik tahlil

- Teorema (bukilish nuqta uchun zaruriylik sharti). Berilgan f

funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo'lib, ikkinchi tartibli f ^′′(x) hosila c nuqtada uzluksiz bo'lsin. Agar (c, f (c)) nuqta bukilish nuqtasi bo'lsa, f ^′′(c) = 0 bo'ladi.
Isbot. Teskarisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz. Avval f ^′′(c) > 0 bo'lsin
deylik. Shartga ko'ra ikkinchi hosila c nuqtada uzluksiz. Shuning uchun, 3.5.1 -
Tasdiqqa asosan, c nuqtaning biror δ-atrofida u ishorasini saqlaydi:


f ^′′(x) > 0, c − δ < x < c + δ. (4.8.13) Shunday ekan, 4.8.4 - Teoremadan f funksiya grafigining qavariqlik yo'nalishi c
nuqtadan chapda ham, o'ngda ham pastga qaraganligi kelib chiqadi. Bu esa (c, f (c)) ning bukilish nuqtaligiga ziddir.

Shunga o'xshash, f ^′′(c) < 0 tengsizlikdan f funksiya grafigi qavariqlik yo'nalishining c nuqtadan o'ngda ham va chapda ham yuqoriga qaraganligi kelib chiqadi. Bu ham (c, f (c)) ning bukilish nuqtaligiga ziddir.

Shunday qilib, f ^′′(c) = 0 ekan. Q.E.D.

5. 
   
   ≥
   - Teorema bukilish nuqta uchun zaruriy shartni beradi. Lekin bu shart yetarli sharti bo'la olmaydi. Misol sifatida f (x) = x⁴ funksiyani olish mukin. Bu funksiya uchun f ^′′(x) = 12 x² 0. Demak, f ^′′(0) = 0, lekin funksiya grafigining qavariqlik yonalishi yuqoriga qaragan.
   
6. 
   - Teorema (bukilish nuqta uchun birinchi yetarli sharti). Berilgan f funksiya c nuqtaning biror atrofida ikki marta differensiallanuvchi bo'lib, f ^′′(c) = 0 bo'lsin. Agar ikkinchi tartibli hosila c nuqtadan chapda va o'ngda turli ishoralarga ega bo'lsa, (c, f (c)) nuqta f funksiya grafigining bukilish nuqtasi bo'ladi.
   

Isbot bevosita 4.8.4 - Teoremadan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, bu teoremaga
ko'ra, f funksiya grafigining qavariqligi c nuqtaning chap va o'ng taraflarida turli yo'nalishlarga ega. Shuning uchun, (c, f (c)) - bukilish nuqtasidir.