Matematik tahlil

Q.E.D.

Natija. Faraz qilaylik, f funksiya c statsionar nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi shartni qanoatlantirsin:


x < c bo'lsa, f ^′(x) > 0 bo'lsin va x > c bo'lsa, f ^′(x) < 0 bo'lsin.
(4.8.5)
U holda c nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo'ladi.

−
Isbot qilish uchun 4.8.1 - Teoremani f₁(x) = f (x) funksiyaga qo'llash yetarli. Qayd etamizki, 4.8.1 - Teorema f funksiya c nuqtadan chapda va o'ngda yotgan nuqtalarda differensiallanuvchi bo'lib, c nuqtaning o'zida esa faqat uzluksiz bo'lgan holda ham o'rinlidir. Chunonchi, bu teoremani quyidagi umumiyroq ko'rinishda
ham keltirish mumkin.

{ | − | }
4.8.1* - Teorema (ekstremum uchun birinchi yetarlilik shartining boshqa varianti). Biror δ > 0 uchun f funksiya x : 0 < x c < δ to'plamning barcha nuqtalarida differensiallanuvchi bo'lib, c nuqtaning o'zida uzluksiz bo'lsin. Agar c nuqtaning δ-atrofida (4.8.2) shart bajarilsa, c nuqta f funksiyaning lokal minimum nuqtasi bo'ladi.
Isbot 4.8.1 - Teorema isbotini so'zma-so'z qaytarishdan iboratdir.
Xuddi shu singari, f funksiya c nuqtada differensiallanuvchi bo'lmay, bu nuqtada faqat uzluksiz bo'lgan holda ham, agar (4.8.5) shart bajarilsa, c nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi bo'lishini ko'rsatish mumkin.

1. 
   -Misol. Quyidagi
   

funksiyani qaraymiz.

f (x) = |x − c|

(−
Bu funksiya butun sonlar o'qida uzluksiz bo'lib, x = c nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila quyidagicha aniqlanadi:


_{f ′(x) = sign (x c) =} −1, agar x < c bo'lsa,
1, agar x > c bo'lsa.
Demak, (4.8.2) shart o'rinli ekan va shuning uchun, 4.8.1* - Teoremaga ko'ra, qaralayotgan funksiya x = c nuqtada lokal minimumga egadir.

Shuni aytish joizki, (4.8.2) va (4.8.5) shartlarga ko'ra f funksiya hosilasining c

nuqta atrofida chegaralangan bo'lishi shart emas.

2. 
   - Misol. Quyidagi
   

funksiyani qaraymiz.
f (x) = 1 − ^√|x|

Bu funksiya butun sonlar o'qida uzluksiz bo'lib, x = 0 nuqtadan boshqa barcha nuqtalarda differensiallanuvchidir. Bu nuqtadan tashqarida hosila quyidagicha aniqlanadi: