Matematik tahlil

d(ln tg x) =

tg x ^· cos² x ^{dx =} sin x cos x^.

2. 
   Birinchi differensial ko'rinishining invariantligi. Agar x argumentning o'zi yangi t o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsa, f (x) funksiyaning differensialini topamiz. Chunonchi,
   

F (t) = f (x) = f [x(t)] (4.6.5)
murakkab funksiyani t argumentning dt orttirmasiga mos kelgan orttirmasini izlaymiz. Agar f va x funksiyalar differensiallanuvchi bo'lsa, u holda F murakkab funksiya ham differensiallanuvchi bo'ladi va
dF = dF (t, dt) = F ^′(t)dt = f ^′[x(t)]x^′(t)dt (4.6.6)
tenglik bajariladi.
Endi, dx = x^′(t)dt bo'lgani uchun, (4.6.6) tenglikni quyidagi ko'rinishda yozib olamiz:
dF = f ^′(x)dx. (4.6.7)
Ikki (4.6.5) va (4.6.7) tengliklardan
df = f ^′(x)dx (4.6.8)
munosabat kelib chiqadi.
Shunday qilib, x argumentining o'zi ham biror yangi o'zgaruvchini funksiyasi bo'lsa, f (x) funksiyaning (4.6.8) birinchi differensiali xuddi (4.6.4) kabi ko'rinishga ega bo'lar ekan. Bu yerdagi yagona farq shundaki, (4.6.8) tenglikda dx - funksiyaning differentsialidir va bu tenglikni aslida quyidagi ma'noda tushunish zarur:


df (t, dt) = f ^′(x(t)) dx(t, dt).
Yuqoridagi (4.6.8) tenglik birinchi differensial ko'rinishining invariantligi deb nomlanadi.

3. 
   Ikkinchi differensial. Faraz qilaylik, f funksiya biror intervalda ikki marta differensiallanuvchi bo'lsin. Bu funksiya differensiali quyidagi
   

df (x, dx) = f ^′(x) dx
ko'rinishga ega bo'lib, u dx orttirmaning har bir tayinlangan qiymatida x o'zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi bo'ladi. Bu o'zgaruvchiga h orttirma bersak,
df (x + h, dx) − df (x, dx) = [f ^′(x + h) − f ^′(x)] dx = [f ^′′(x) + α(x, h)]h dx
munosabatni olamiz, bunda h → 0 da α(x, h) → 0.

Birinchi differensialning differensiali birinchi differensial orttirmasining h ga nisbatan chiziqli qismi bo'lib, u quyidagi ko'rinishga egadir:

f ^′′(x) h dx.
Bu ifodaning h = dx dagi qiymati f funksiyaning ikkinchi differensiali deb ataladi va d²f = d²f (x, dx) kabi belgilanadi. Shunday qilib,
d²f = f ^′′(x) (dx)², (4.6.9) ya'ni ikkinchi differensial dx orttirmaning kvadratik funksiyasi ekan.
Masalan,
d²(sin x) = − sin x (dx)².
Endi x argument yangi t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lgan holda f (x) funksiyaning ikkinchi differensialini topamiz. Chunonchi, quyidagi murakkab funksiyani qaraymiz