Matematik tahlil

− a| < _n

(2.7.2)

Ravshanki, bunday tanlangan {x_n} ketma-ketlik uhun (i)-(iii) shartlar bajariladi.

2. 
   
   { }
   
   { }
   Yetarliligi. Endi (i)-(iii) shartlarni qanoatlantiruvchi x_n ketma-ketlik mavjud bo'lsin. U holda a nuqta E to'plamning limit nuqtasi ekanini ko'rsatamiz. Istalgan ε > 0 ni tayinlaymiz. (i) - shartga ko'ra, biror nomerdan boshlab, x_n ketma- ketlikning barcha elementlari a nuqtaning ε-atrofida yotadi, ya'ni a nuqtaning istalgan ε-atrofida E to'plamning cheksiz ko'p elementlari yotadi. Bu esa, a nuqta E to'plamning limit nuqtasi ekanini anglatadi.
   

Q.E.D.

Berilgan E to'plamning barcha limit nuqtalari to'plami hosilaviy to'plam deyiladi va E^j simvoli orqali belgilanadi.
Shunga e'tibor qaratayliki, E to'plamning limit nuqtalari E to'plamga tegishli bo'lishi ham, tegishli bo'lmasligi ham mumkin. Masalan, agar E = (0, 1) bo'lsa, E^j = [0, 1] bo'ladi. Demak, (0, 1) intervalning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib,
ular E ga tegishlidir; ikki chegaraviy 0 va 1 nuqtalar esa, limit nuqta bo'lishiga qaramasdan, E ga tegishli emas.

Bu misolda E to'plamning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib chiqdi. Lekin

1

doim ham bunday bo'lavermaydi. Masalan, agar m natural son bo'lsa, barcha