Matematik tahlil

MATEMATIK TAHLIL

SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV

II Bob. Sonli ketma-ketliklar

Ÿ 2.1. Ketma-ketlik limiti

1. 
   
   →
   Sonli ketma-ketlik deb natural sonlar t'oplamida aniqlangan va haqiqiy qiymatlar qabul qiluvchi f : N R funksiyaga aytiladi. Agar f (n) = x_n deb belgilasak, sonli ketma-ketlik deganda natural sonlar bilan nomerlangan quyidagi haqiqiy sonlar to'plamini tushinish mumkin:
   

x₁, x₂, ..., x_n, ... (2.1.1)

{ } { }
Biz (2.1.1) sonli ketma-ketlikni qisqa qilib {x_n} orqali belgilaymiz. Odatda formal qat'iylik tarafdorlari bu ketma-ketlikni {x_n}^∞_n=1 ko'rinishda, yoki, unga teng kuchli bo'lgan, x_m ^∞_m=1, x_k ^∞_k=1, ..., simvollar yordamida belgilashni afzal ko'rishadi. Lekin biz uni, albatta, agar bunda xato tushunishlarga yo'l qo'yilmasa, yuqoridagi
ko'rinishda belgilaymiz. Bunda x_n sonni ketma-ketlikning n-elementi yo'ki hadi deb ataymiz.
Bundan buyon, ¾nomer¿ deganda biz natural sonni tushunamiz. Bundan tashqari, ushbu bobda sonli ketme-ketlikni biz ko'pincha qisqaroq qilib ketma-ketlik deb ataymiz.
Sonli ketma-ketliklar uchun tabiiy ravishda arifmetik amallarni aniqlash mumkin.

{ } { } { }
Ta'rif. Ikki x_n va y_n ketma-ketliklar yig'indisi deb x_n + y_n ketma-ketlikka aytamiz.
Shunga o'xshash, ikki {x_n} va {y_n} ketma-ketliklarning ayirmasi deb {x_n −

y_n} ketma-ketlikka, ko'paytmasi deb {x_ny_n
} ketma-ketlikka va nisbati deb
x_n
{ _yn }

{ }
ketma-ketlikka (oxirgi holda y_n ketma-ketlikning barcha elementlari noldan farqli

ƒ
deb talab qilish zarur, ya'ni y_n = 0) aytiladi.
Ketma-ketlikning eng asosiy xossasi - bu uni limitining mavjudligidir. Limit deganda shunday haqiqiy son tushuniladiki, unga ketma-ketlikning hadlari, ularning nomeri oshgan sari, istalgancha yaqinlashadi. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy (istalgancha kichik bo'lgan) musbat (odatda bu sonni ε, ya'ni ¾epsilon¿ deb atalmish yunoncha
harf bilan belgilashadi) son uchun ketma-ketlikning biror nomeri (ε ga bog'liq bo'lgan va odatda N orqali belgilanadigan) dan boshlab barcha hadlari limitdan o'sha musbat songa farq qilsin. Shunday qilib biz quyidagi ta'rifga kelamiz.
Ta'rif. Ixtiyoriy ε > 0 olinganda ham shunday N = N (ε) nomer topilsaki, barcha n ≥ N lar uchun
|x_n − a| < ε (2.1.2)
tengsizlik bajarilsa, a son {x_n} ketma-ketlikning limiti deyiladi.
1

Agar x_n ketma-ketlik a limitga ega bo'lsa, odatda

lim x_n = a
n→∞

deb yozishadi, yoki, ba'zan,

deb ham yozishadi.