Matematik tahlil

n → ∞ da x_n → a

Limitga ega bo'lgan ketma-ketliklar yaqinlashuvchi deb ataladi.
Ba'zan, ketma-ketlik limitining ta'rifi, sonlar o'qidagi nuqtalar atrofi tushunchalaridan foydalanib ham kiritiladi.
Ta'rif. Sonlar o'qidagi x₀ nuqtaning atrofi deb shu nuqtani o'z ichiga oluvchi
istalgan ochiq intervalga aytiladi.
Agar bu interval (x₀ − ε, x₀ + ε) ko'rinishga ega bo'lib, bunda ε > 0 bo'lsa, bu interval x₀ nuqtaning ε atrofi deyiladi. Bu tushunchadan foydalanib limitning ta'rifini yana quyidagicha ham berish mumkin:

{ }
agar istalgan ε > 0 uchun ketma-kerlikning N = N (ε) nomerdan boshlab barcha elementlari a nuqtaning ε atrofida joylashsa, a son x_n ketma-ketlikning limiti deyiladi.

{ }
Boshqacha aytganda, agar istalgan ε > 0 uchun a nuqtaning ε atrofidan tashqarida x_n ketma-ketlikning oshib borsa chekli sondagi hadlari joylashsa, a son bu ketma- ketlikning limiti deb ataladi.

{ }
Yaqinlashuvchi eng sodda ketma-ketlik bu statsionar ketma-ketlikdir, ya'ni shunday x_n ketma-ketlikki, uning barcha elementlari bitta songa teng: x_n = c. Misol sifatida quyidagi ketma-ketlikni olsa bo'ladi:

1, 1, 1, ..., 1, ...

Ravshanki, x_n = c statsionar ketma-ketlik yaqinlashadi va c soni uning limiti bo'ladi.
Navbatdagi misol, sodda bo'lishiga qaramasdan, o'ta muhimdir.

1

2.1.1 - Misol. x_n =