Matematik tahlil

Q.E.D.

4. 
   - Teorema(tengsizliklarda limitga o'tish haqida). Agar ikki yaqinlashuvchi
   

{x_n} va {y_n} ketma-ketliklarning barcha elementlari
x_n ≤ y_n (2.1.24)
tengsizlikni qanoatlantirsa, ularning limitlari ham shu tengsizlikni qanoatlantiradi:

lim

n→∞
x_n lim

≤
n→∞
y_n. (2.1.25)

− ≥
Isbot. (2.1.24) ga ko'ra y_n x_n 0 tengsizlik o'rinli va shuning uchun, 2.1.2 - Lemmaga asosan,

− ≥
lim (y_n x_n) 0.
n→∞
Endi (2.1.18) tenglikni qo'llab, talab qilingan (2.1.25) munosabatni olamiz. Q.E.D.
Eslatma. Agar (2.1.24) shartni qat'iy x_n < y_n tengsizlikka o'zgartirsak, bundan,
umuman aytganda, limitlar uchun ham qat'iy tengsizlik kelib chiqmaydi. Masalan,

1

agar x_n = 0 va y_n =

n

biroq
ketma-ketliklarni olsak,

x_n < y_n,

lim x_n = lim y_n = 0.

n→∞ n→∞

Navbatdagi teorema matematik tahlilda muhim rol o'ynaydi.

4. 
   - Teorema. Faraz qilaylik, {x_n} va {y_n} ketma-ketliklar bitta songa yaqinlashsin va {z_n} ketma-ketlik
   

x_n ≤ z_n ≤ y_n (2.1.26)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda {z_n} ketma-ketlik ham xuddi o'sha songa yaqinlashadi.

{ } { }
Isbot. Shartga ko'ra, x_n va y_n ketma-ketliklar limiti a soni bo'lsin. Shunday ekan, (2.1.26) tengsizlikdan
x_n − a ≤ z_n − a ≤ y_n − a (2.1.27)
munosabat kelib chiqadi.
2.1.7 - Tasdiqqa asosan, {x_n − a} va {y_n − a} ketma-ketliklar cheksiz kichik bo'ladi. Demak, (2.1.27) va 2.1.6 - Tasdiqqa ko'ra, {z_n − a} ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi, ya'ni z_n → a.

Q.E.D.

Eslatma. Isbotlangan teorema yuqorida keltirilgan ¾ikki militsioner prinsipi¿ ning yana bir varianti: agar qochuvchi (ya'ni z_n) hamma vaqt biror a punktga intiluvchi ikki militsioner (ya'ni x_n va y_n) orasida bo'lsa, qochuvchi ham oxir- oqibat shu punktga keladi.

Ÿ 2.2. Monoton ketma-ketliklar

1. 
   Sonli ketma-ketliklarni o'rganishdagi asosiy muammo bu ularning limitga ega bo'lishligidir. Umumiy holda bu muammoni hal qilish ancha murakkab bo'lsa-da, lekin ketma-ketliklarning ba'zi sinflari uchun u nisbatan oson hal qilinadi. Shu ma'noda monoton ketma-ketliklar ayniqsa sodda xossalarga ega.
   

Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
x_n ≤ x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.1)

{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, x_n ketma-ketlikni o'suvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
x_n < x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.2)

{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, x_n ketma-ketlikni qat'iy o'suvchi deymiz.
Masalan, x_n = n ketma-ketlik qat'iy o'suvchidir.
Kamayuvchi ketma-ketliklar ham shunga o'xshash aniqlanadi.
Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
x_n ≥ x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.3)

{ }
tengsizliklar bajarilsa, x_n ketma-ketlikni kamayuvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
x_n > x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.4)

{ }
tengsizliklar bajarilsa, x_n ketma-ketlikni qat'iy kamayuvchi deymiz.
O'suvchi ketma-ketliklarni va kamayuvchi ketma-ketliklarni monoton ketma- ketliklar deyiladi. Ba'zan, qat'iy o'suvchi va qat'iy kamayuvchi ketma-ketliklar qat'iy monoton ketma-ketliklar deyiladi.