Matematik tahlil

|x_n| ≤ M, n ∈ N.

Bu esa {x_n} ketma-ketligining chegaralanganligini anglatadi. Q.E.D.

2. 
   
   { }
   - Tasdiq. Har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlik Koshi ketma-ketligidir. Isbot. Shartga ko'ra, x_n yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo'lib, a soni uning limiti bo'lsin. U holda istalgan ε > 0 olinganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki,
   

u uchun

tengsizlik o'rinli bo'ladi.

|x_n − a| < ε, n ≥ N (2.5.3)

Shuning uchun, agar qandaydir boshqa nomer m ham m ≥ N shartni qanoatlantirsa,
|x_m − a| < ε, m ≥ N (2.5.4)
tengsizlik bajariladi.
(2.5.3) va (2.5.4) tengsizliklardan

|x_n − x_m| < 2ε, n ≥ N

{ }
kelib chiqadi, va demak, ε > 0 ning ixtiyoriyligiga ko'ra, x_n - Koshi ketma-ketligi ekan.

Q.E.D.

3. 
   2.5.2 - Tasdiqqa teskari bo'lgan tasdiq, ya'ni har qanday Koshi ketma-ketligining yaqinlashuvchi ekanligi haqiqiy sonlar nazariyasidagi eng ajoyib natijadir.
   

2.5.1 - Teorema (Koshi kriteriysi). Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lishi uchun uning Koshi ketma-ketligi bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1) Zarurligi 2.5.2 - Tasdiqda isbotlandi.

{ }

{ }

{ } { }
2) Yetarliligi. Har qanday Koshi ketma-ketligi x_n yaqinlashuvchi bo'lishini isbotlaymiz. Ta'rifga ko'ra, istalgan ε > 0 olinganda ham shunday nomer N = N (ε) topiladiki, u uchun (2.5.1) shart bajariladi. 2.5.1 - Tasdiqqa asosan esa, x_n ketma- ketlik chegaralangan, va shuning uchun, 2.4.1 - Teoremaga ko'ra, u yuqori a va quyi a limitlarga ega. Ikkita x_nk va x_mk qismiy ketma-ketliklarni shunday tanlab olamizki,

munosabatlar o'rinli bo'lsin.

x_nk → a, x_mk → a (2.5.5)

Endi (2.5.1) da n = n_k va m = m_k deb olib, k ni cheksizlikka intiltirsak, (2.5.5) ga ko'ra,

tengsizlik kelib chiqadi.