Matematika” kafedrasi “Algebra va sonlar nazariyasi”

2- natija. Modulni о‘zgartirmagan holda taqqoslamaning ikkala tomonini bir xil butun songa kо‘paytirish mumkin.

Isboti. taqqoslamani bilan hadlab kо‘paytirish natijasida ga ega bо‘lamiz.

3-xossa. Agar bо‘lsa, u holda bо‘ladi.

Isboti. bо‘lganidan bо‘ladi. (9) ning ikkala tomonini ga kо‘paytiramiz:

.

Oxirgi taqqoslamalarni hadlab qо‘shamiz:

.

1-natija. Agar bir vaqtda va bо‘lsa,

о‘rinli bо‘ladi.

2-natija. Taqqoslamada qatnashuvchi qо‘shiluvchi о‘rniga unga teng qoldiqli bо‘lgan ikkinchi sonni olish mumkin, ya’ni

va bо‘lsa, deb yozish mumkin.

4-xossa. Agar taqqoslamaning ikkala tomonidagi umumiy bо‘luvchi modul bilan о‘zaro tub bо‘lsa, taqqoslamaning ikkala tomonini shu umumiy bо‘luvchiga bо‘lish mumkin.

Isboti. bо‘lib, bо‘lsa, ni yozish mumkin.



Demak, .

Eslatma.

bо‘lib, bо‘lsa, bu xossa о‘rinli emas. Masalan,

.

bо‘lgani uchun har ikkala tomonni 5 ga qisqartirib, degan notо‘g‘ri xulosaga kelamiz.

5-xossa. Taqqoslamaning ikkala tomonini va moduli bir xil butun musbat songa kо‘paytirish mumkin (agar bо‘linsa, bо‘lish mumkin).

Isboti. a) berilgan bо‘lsin. deb yozsak va tenglikning ikkala tomonini butun songa kо‘paytirsak, yoki bо‘ladi.

v) bо‘lsa, ni isbotlaymiz. bо‘lsa, bо‘ladi. U holda berilgan taqqoslama bо‘lib yoki bо‘lgani sababli о‘rinli. Endi

bо‘lgani uchun

bо‘ladi.

6-xossa. Agar taqqoslama bir necha modul bо‘yicha о‘rinli bо‘lsa u shu modullarning eng kichik umumiy karralisi bо‘yicha ham о‘rinli bо‘ladi.

Isboti. bо‘lsin. Taqqoslama ta’rifiga asosan bularni mos ravishda deb yozish mumkin. Ayirma bir vaqtda va ga bо‘linadigan bu ayirma ga ham bо‘linadi. U aniq . Bu mulohazani ketma –ket qо‘llab, agar taqqoslama bо‘yicha о‘rinli bо‘lsa u bо‘yicha ham о‘rinli bо‘ladi. Degan xulosaga kelamiz.

7-xossa. Agar taqqoslama biror modul bо‘yicha о‘rinli bо‘lsa u shu modulning ixtiyoriy bо‘luvchisi modul bо‘yicha ham о‘rinli bо‘ladi.

Haqiqatan ham bо‘lib bо‘lsa deyish mumkin. Yoki bо‘ladi. Demak, .

8-xossa. Taqqoslamaning bir tomoni va modulining eng katta umumiy bо‘luvchisi bilan ikkinchisi tomoni va modulning eng katta umumiy bо‘luvchisi о‘zaro teng bо‘ladi.

Haqiqatan ham dan deb yozish mumkin. Demak, 106-§ ga asosan .

Natija. bо‘lsa, bо‘lishi mumkin emas.

Ta’rif: Agar a va b butun sonlarni m natural songa bo`lganda bir xil qoldiq chiqsa, a va b sonlar m modul bo`yicha taqqoslanadi deb aytiladi va a ≡ b ( mod m ) ifoda taqqoslama deyiladi.

a = mk + r a – b = mk – mn + 0

b = mn+ r a – b = m(k – n )

1 – xossasi: a – b ayirma m natural songa qoldiqsiz bo`linadi

2 – xossasi: har biri c soni bilan taqqoslanadigan a va b sonlari bir – biri bilan ham taqqoslanadi.
a ≡ c (mod m) b ≡ c (mod m) => a ≡ b (mod m)
3 – xossa: Modullari bir xil bo`lgan taqqoslamalarni hadma – had qo`shish mumkin.

a₁ ≡ b₁ (mod m) a₁ + a₂ + … + a_n ≡ b₁ + b₂ +… + b_n (mod m

a₂ ≡ b₂ (mod m) a₁+ a₂ + … + a_n = a

…………….. a ≡ b (mod m)

a_n ≡ b_n (mod m) b₁ + b₂ + … + b_n = b

Natija: Taqqoslamaning bir tomonidan ikkinchisi tomoniga qarama – qarshi ishora bilan olib o`tish mumkin.

a + c ≡ b (mod m) => a ≡ b – c (mod m)

4 – xossa : Taqqoslamaning ixtiyoriy tomoniga uning moduliga karrali bo`lgan sonni ko`paytirish mumkin.

a ≡ b (mod m) => a + mk ≡ b (mod m) va a ≡ b + mn(mod m)

5 – xossa : Bir xil modulli taqqoslamalarni hadma – had ko`paytirish mumkin.

a₁ ≡ b₁ (mod m) a₁ × a₂ … × a_n ≡ b₁ × b₂ … × b_n (mod m

a₂ ≡ b₂ (mod m) a₁× a₂ … + a_n = a

…………….. a ≡ b (mod m)

a_n ≡ b_n (mod m) b₁ × b₂ … × b_n = b

Natija: a ⁿ ≡ b ⁿ (mod m)

6 – xossa : Taqqoslamaning har ikkala qismini biror butun songa ko`paytirish mumkin.

a ≡ b (mod m) => ak ≡ bk (mod m ) k Э Z

7 – xossa : Taqqoslamaning har ikkala qismini va modulini biror natural songa ko`paytirish mumkin.

a ≡ b (mod m ) => an ≡ bn (mod mn) n Э N

8 – xossa : Taqqoslamaning har ikkala qismini ularning umumiy bo`luvchilariga bo`lish mumkin.

an ≡ bn (mod m) => a ≡ b (mod m)

9- xossa: Agar a va b soni m₁, m₂ , … m_k sonlari bilan taqqoslansa, u holda ular EKUK bo`yicha ham taqqoslanadi.

10 - xossa: Agar d soni m sonining bo`luvchisi bo`lib:

a ≡ b (mod m) bo`lsa, a ≡ b (mod d) bilan bo`ladi.

Taqqoslamalar quyidagi xossalarga ega:

1⁰. Taqqoslama ekvivalent binar munosabat.

2⁰. Bir xil modulli taqqoslamlarni qo'shish(ayirish) mumkin.

Bu ish n ta a₁₌b₁(mod m), a₂₌b₂ (mod m),...,a_n=b_n(mod m) taqqoslamalar uchun ham bajariladi, ya'ni a₁±a₂±...±a_n=b₁±b₂±...±b_n(mod m) taqqoslanadi hosil qilamiz.

3⁰. Bir xil modulli taqqoslamlarni hadma-had ko'paytirish mumkin.

Natija. Taqqoslamlarni ikki qismini (modullni o'zgartirmay)bir xil natural darajaga koʻtarish mumkin.

4⁰. Modullni o'zgartirmagan holda taqqoslamani ikki qismini bir xil butun songa koʻpaytirish mumkin.