Matematika” kafedrasi Hamroyeva Muqaddas Bozorovnaning

2.2.3-lemma: (2.2.1)qator 

G

 to’plamda absolyut yaqinlashuvchi va har bir 





G

y

x







,

 nuqtada absolyut yaqinlashuvchi emas. 

2.2.2-misol: 

Bizga 

m

m

x

a

x

a

x

a

a

x

P











...

)

(

2

2

1

0

 polinom berilgan bo’lsin. 

 

47 

l

l

k

k

y

x







0

,

 

 qatorning koeffitsiyentlari quyidagicha bo’lsin:  

k

kl

a

l

с

!



, agar 

m

k



 bo’lsa,  

0



kl

c

 agar 

m

k



 bo’lsa. 

m

p



 bo’lganda qatorning xususiy yig’indisini qaraymiz. 



















q

l

l

l

q

m

o

l

k

k

k

l

q

p

l

k

k

kl

pq

y

l

x

P

y

x

a

l

y

x

c

y

x

S

0

,

,

,

0

,

!

)

(

!

)

,

(

 

 bu qatorning xususiy yig’indisi 

s

x

x



 

m

s

,...,

3

,

2

,

1



(bu yerda 

s

x

 

)

(x

p

 polinomning 

nollari) 

0

)

(



x

P

 bo’lganda va 

0



z

 bo’lganda nolga teng. 

Demak, berilgan qator 









0

1









y

x

x

m

s

s



 

 to’plamda yaqinlashuvchi. 

 

Bu misoldan ko’rinadiki ikki o’zgaruvchili darajali qatorlarda oddiy darajali 

qatorlardagi kabi yaqinlashish to’plamidagi nuqtalarning barchasi ham ichki nuqta 

bo’la olmaydi. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2.3-misol: 

Bizga 

m

m

x

a

x

a

x

a

a

x

P











...

)

(

2

2

1

0

 polinom berilgan bo’lsin. 

 

48 

l

l

k

k

y

x







0

,

 

 qatorning koeffitsiyentlari quyidagicha bo’lsin:  

,

1



kl

c

 

1

,





l

k

c

 







k

0

 

va 

,

1

,

0



l

c

 

1

,

1





l

c

 







l

2

 

qolgan hollarda 

)

2

,

(



l

k

 

0

,



l

k

c

 

u holda, bu qatorning xususiy yig’indisi quyidagicha bo’ladi: 



















































q

l

l

p

k

k

q

l

l

q

l

l

p

k

k

p

k

k

l

k

q

p

l

k

l

k

pq

y

x

x

y

xy

y

y

x

x

y

x

c

y

x

s

2

0

2

2

0

0

,

0

,

,

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

,

(

 

Bu tenglikdan ko’rinib turibdiki, qator 





)

1

,

1

(

1

,

1







y

x

 to’plamda 

yaqinlashuvchi. 

 

 

 

 

    y   

            

 

 

     1  

 

 

 

    

 

 

 

 

 

      1   

 

 

x 

 

 

 

 

2.2.4-misol: 

l

l

l

k

k

y

x







,

 

 qatorning yaqinlashish to’plamini qaraylik. 







































..

...

...

...

...

...

1

2

2

2

2

2

m

m

m

l

l

k

k

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

xy

x

x

y

x

m

 

...)

)

(

)

(

...)(

1

(

3

2

3

2

















xy

xy

xy

x

x

x

 





1

,

1





xy

x

to’plamda oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi ifodaning har bir 

ko’paytuvchisi geometrik qatorga aylanadi va ular yaqinlashuvchi.  

 

49 

Demak, bu to’plamda bizga berilgan qator yaqinlashuvchi va uning 

yig’indisi  

xy

x

y

x

l

k

l

k















1

1

1

1

 

2.2.5-misol: 







0

,l

k

l

k

x

y

 

 qatorning yaqinlashish to’plamini qaraylik.  

Xususiy yig’indisini topamiz:



















q

p

l

k

p

l

k

q

p

y

y

y

x

y

x

y

s

,

0

,

2

,

)

...

1

(

)

,

(

 

x

x

y

y

x

x

x

p

p

p

1

1

)

1

(

1

1

1

)

1

...

1

1

1

(

2























 





1

,

1

)

,

(







x

y

x

y

 bo’lganda 

l

k

l

k

s

,

,

lim





 mavjud.  

Demak, 







0

,l

лk

l

k

x

y

qator 





1

,

1





x

y

 to’plamda yaqinlashadi. 

 

50 

II bob xulosasi. 

 

II bob 2 qismdan iborat bo’lib, ushbu bobda karrali ketma-ketlik va qator 

tushunchalari to’liq o’rganilgan. Ikki karrali darajali qatorlarning yaqinlashish va 

absolyut yaqinlashish to’plamlari haqida bir qator mushohadalar yuritilgan. 

Ikki karrali qatorlar uchun oddiy darajali qatorlarda o’rinli bo’lgan A’bel 

teoremasining analogi o’rganilgan. Bunday qatorlarning yaqinlashish to’plamlari 

haqida to’la tasavvurga ega bo’lish uchun bir qator misollar keltirilgan.  

 

 

 

 

 

 

51 

Xotima. 

 Sonli  qatorlar  va  ularning  yaqinlashuvchanligi,  funksional  qatorlar,  darajali  qator 

tushunchalari  o’rganilgan.  Funksiyalarni  Teylor  qatoriga  yoyishga  doir  misollar 

o’rganilgan.  Darajali  qatorlar  uchun  Abel  va    Koshi-Adamar  teoremalari  isboti 

bilan  berilgan.  Qatorlarning  yaqinlashuvchi  bo’lishi  va  yaqinlashish  to’plamlari 

to’la o’rganilgan ularga doir misollar keltirilgan. 

 

Ushbu  bitiruv  malakaviy  ish  “Karrali  qatorlar”mavzusiga  bag’ishlangan 

bo’lib, unda karrali qatorlarning yaqinlashish to’plamlari o’rganilgan. 

 

Bizga  ma’lumki  bir  o’zgaruvchili  darajali  qator  uchun  quyidagicha  Abel 

teoremasi  o’rinli:  Agar 







0

n

n

n

x

a

qator 

0

x

  nuqtada  yaqinlashuvchi  bo’lsa, 





0

x

x

E





  to’plamda  absolyut  yaqinlashuvchi 

E

  to’plamdan  tashqarida 

uzoqlashuvchi. 

 

Bu  teoremaning  umumlashmasi  karrali  qatorlar  uchun  o’rinli  bo’lmasligi 

misollarda  ko’rsatilgan.  Ikki  karrali  darajali  qatorlarning  yaqinlashish  to’plamlari 

o’rganilgan. 

Bitiruv  malakaviy  ishidan  oliy  o'quv  yurtlari  talabalari  matematik  analiz 

fanini o'rganishda foydalanishlari mumkin. 

 

 

52 

 Adabiyotlar  

1. I.A.Karimov “Yuksak ma’naviyat-yengilmas kuch” Toshkent-2008 yil. 

2. I.A.Karimov “O’zbekiston XXI asrga intilmoqda”. Toshkent 1999 . 

3.  Azlarov  T.,  Mansurov  H.  Matematik  analiz  1-tom.  Toshkent,  ”O’zbekiston”, 

1994,1995. 

4.  Azlarov  T.,  Mansurov  H  ”Matematik  analiz”  2-tom.  ”O’zbekiston”,1995, 

”O’qituvchi”,1989.  

5. Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H  Matematik analiz. 1- va 2-qismlar. 

Qarshi, ”Nasaf”, 2003.  

to’plami. 1- va 2- tomlar. Toshkent, ”O’zbekiston”, 1993, 1996.  

6.    Sa'dullayev  A.,Mansurov  H.,  Xudayberganov  G.,Varisov  A.,  G'ulomov  R 

Matematik analiz kursid 

7. Кудрявцев Л. Курс математического анализа. Т. 1.1973. 

8.  Xudayberganov.G.,  A.K.Vorisov.,  X.T.  Mansurov.,  B.  A.  Shoimqulov 

Matematik analizdan ma’ruzalar. 1-qism. Toshkent -2010. 

9.  Sa’dullayev  A.,  Mansurov  H.,  Xudayberganov  G.,  Varisov  A.,  G’ulomov  R 

Matematik analiz kursidan misol va masalalar an misol va masalalarto'plami. 1-va 

2-tomlar.Toshkent,"O'zbekiston",1993,1996. 

10.  Архипов  Г.,Садовничий  В.,  Сендов  Б.  Математический  анализ,  Москва 

“Высшая школа”1999. 

11. 

Илъин 

В.,Садовничий 

В., 

Cендов 

Б. 

Математический 

анализ,Москва”Наука”,1979.     

12. www.legionr.ru 

13. http://lib.mexmat.ru. 

14. www.ZiyoNet.uz 

15.www.Google.uz