Matematika sohasidagi ta'lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida
Download 1.11 Mb.
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari
- 2. Bir jinsli sistemalar.
Agar bu yerda. desak, (1) ni matritsa ko`rinishda yozish mumkin: AХ=V. (2) Agar V=0 bo`lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo`lmagan sistema deyiladi. (1) sistemaning yechimi deb (2) ni ayniyatga aylantiradigan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ga aytiladi (Х yechimga mos keluvchi хÎRn arifmetik vektorni ham (1) sistemaning yechimi deb ataladi). Agar sistema kamida bitta yechimga ega bo`lsa, uni birgalikda deyiladi, aks holda birgalikda emas deyiladi. Agar ikkita sistema yechimlari to`plami bir хil bo`lsa, ularni ekvivalent deyiladi. 1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo`lsin. Agar detA¹0 bo`lsa, u holda ma`lumki. Bunday matritsaga teskari A-1 matritsa mavjud. A-1 ni (2) ga chapdan qo`llasak: Х= A-1V (3) tenglik hosil bo`ladi. (3) ning o`ng tomonidagi ko`paytirish amalini bajarib, hosil bo`ljan ustunlarning mos komponentalarini tenglab, (1) ning yagona yechimini hosil qilamiz. Sistemani yechishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi. Yechimni yuqorida ko`rsatilgan usuli yordamida topaylik. U holda (4) hosil bo`ladi. Tengliklarni o`ng tomonidagi kasr suratidagi yig`indining determinantni biror yo`li bo`yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidagi determinantlar ko`rinishida ifodalash mumkin. Agar D=detA deb belgilasak, (4) tengliklarni ko`rinishda yozib olsa bo`ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi. Misol. Quyidagi tenglamalar sistemasini yeching: Yechish: Sistemaning matritsasi maхsus emas, chunki detA=-2¹0. Biriktirilgan matritsasi ko`rinishga ega. U holda teskari matritsa bo`ladi va niхoyat, . Bundan, х1=2, х2=-1, х3=1 ekanligini hosil qilamiz. Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz: Demak, ekan. Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni D=det¹0 bo`lsa, u holda bunday sistema yagona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,¼,0) yechimja ega bo`ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`ljani uchun Di, i=1,2,¼,n determinantlar nolga teng bo`ladi, Kramer formulalariga asosan esa х1=0, х2=0,¼хn=0 ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga teng bo`lmagan, x=(x1,¼,xn) yechimga ega bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (D=0). Iхtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasinig yechish. Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidagi matritsa kengaytirilgan matritsa deb ataladi. Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birgalikda bo`lishi uchun rangA= rang`A bo`lishi zarur va yetarlidir. Zarurligi: Faraz qilaylik, (1) sistema birgalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`lgani uchun A matritsaga`A matritsaga ham tegishli bo`lgan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(`A)³ k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi `A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanligini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmagan holda bu minor deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenglamalarini va no`malumlarning joyini almashtirib shu holga olib kelsa bo`ladi. SHartga ko`ra (1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x1,¼,xn) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenglamasini ham qanoatlantiradi. U holda (4.5) bu erda
(4.6) (5) asosida quyidaji (7) sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birgalikda, chunki uni noldan farqli y=(x1,¼,xk,1) echim qanoatlantiradi. U holda bir jinsli (7) sistemaning determinanti nolga teng, ya`ni chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan. Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birgalikda ekanligini isbot qilish kerak. Qilingan farazga ko`ra, sistemaning shunday k ta tenglamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinganidek, umumiylikni buzmagan holda bu aynan (8) tenglamalar deb faraz qilish mumkin. SHartga ko`ra, uning uchun (8) sistemani quyidagicha yozib olamiz: (9) s¹0 bo`ljani uchun bu sistema yagona yechimga ega va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin: bu yerda Asi, i=1,2,¼,k, asi elementining s determinantdagi algebraik to`ldiruvchisidir. xk+1,¼,xn larga har хil qiymatlar berish mumkin, x1,¼,xk larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan. Endi bu yechimlar (1) sistemaning (9) ja kirmagan tenglamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) yechimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham yechimi ekanligini ko`rsatish kifoya. (1) sistemaning avvalgi k+1 ta tenglamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenglamasini yechimi bo`lsin. Хuddi yuqoridagidek, (7) tenglamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga teng. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmagan y1,¼,yk+1 yechimga ega. Bu erda yk+1¹0, chunki, aks holda (7) sistema y1,¼,yk,0 yechimga ega bo`ladi, bundan y1=0,¼,yk=0 ekanligi kelib chiqadi, chunki s¹0, ya`ni (7) trivial y1=y2=¼=yk+1=0 yechimga ega bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun sonlar ham bu sistemaning yechimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenglamalarining yechimi bo`ladi. Bizga ma`lumki, bu sistema yagona x1,¼,xk yechimga ega edi. s¹0 bo`lgani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenglamasiga qo`ysak, tenglik bajarilishiga ishonch hosil qilamiz. Demak, x1,¼,xk lar (5) ning k+1-tenglamasini qanoatlantiradi va (6) ga asosan х=(x1,¼,xn) (4.1) ning k+1-tenglamasini yechimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi. Eslatma: agar xk+1=c1,¼,xn=cn-k desak, barcha x1,¼,xk lar c1,¼,cn-k larga bog`liq bo`lib qoladi. (x1(c1,¼,cn-k),¼,xk (c1,¼,cn-k),c1,¼,cn-k)T ustun (1) ning umumiy yechimi deb ataladi. Misol. Quyidaji sistemani yeching: Yechish:
Shuning uchun matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kengaytirilgan matritsa uchun , chunki shu matritsaning ya`ni bo`lyapti. Yuqoridagi teoremaga asosan, bu sistema yechimga ega emas deyish mumkin. Misol. Sistemani yeching: Yechish: Uning determinanti Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanligiga ishonch hosil qilishimiz mumkin. Berilgan sistemani birinchi va ikkinchi tenglamalaridan sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun shu sababli, u yagona yechimga ega: Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik berilgan sistemaning yechimi bo`ladi. Agar u=S desak, (1-S, S, 0)T ustun berilgan sistemaning umumiy yechimi bo`ladi. 2. Bir jinsli sistemalar. Quyidagi (11) bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 yechimi bor. Uning trivial bo`lmagan yechimi mavjud bo`lishi uchun r(A)=r Faraz qilaylik, QÌRn–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha yechimlari to`plami bo`lsin. Bu to`plamdagi har qanday bazis n-r ta e1,e2,¼,en-r chiziqli bog`liq bo`lmagan vektorlardan tuzilgandir. Kanonik bazisda unga mos keluvchi E1,E2,¼,En-r vektorlar sistemasi fundamental yechimlar sistemasi deb ataladi. Uning yechimi quyidagicha: Download 1.11 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|