Matematika sohasidagi ta'lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida

X=S₁E₁+¼+S_n-rE_n-r.

Ko`rinishda yozish mumkin, bu erda S<sub>1</sub>,¼,S<sub>n-r</sub> iхtiyoriy o`zgarmaslar.

Misol. Quyidagi bir jinsli sistemaning fundamental yechimlar sistemasini va umumiy yechimini toping:

Yechish: Bu sistemaning matritsasini tuzib olamiz:

r(A)=2 (tekshiring!). Bazis minor sifatida, masalan,

ni olishimiz mumkin. U holda sistemaning 3- tenglamasini tashlab, uni quyidagi ko`rinishga keltiramiz:

Bunda, agar х₁=S₁, х₂=S₂ desak,

topiladi. Demak, sistemaning umumiy yechimi

bo`ladi. Bundan mos ravishda S₁=1, S₂=0 va S₁=0, S₂=1 deb, fundamental yechimlar sistemasini topamiz:

Jordan-Gaussning noma`lumlarni ketma-ket yo`qotish usuli. Bu usulning asosiy ma`nosi berilgan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozib olib, uning yo`llari ustida elementar almashtirishlar bajarib, uni quyidagi ko`rinishga keltirishdir:

(12) matritsa o`z navbatida quyidagi (1) ga ekvivalent bo`lgan

tenglamalar sistemasining kengaytirilgan matritsasidir. Agar (12) da sonlarning хech bo`lmaganda bittasi noldan farqli bo`lsa, (13) va o`z navbatida (1) sistemalar birgalikda bo`lmaydi.

Agar bo`lsa, u holda sistema birgalikda bo`ladi va (13) formulalar х₁,¼,х_r noma`lumlarning х<sub>r+1</sub>,¼,х<sub>n</sub> noma`lumlar orqali ifodasini beradi.
Misol. Sistemani yeching:

kengaytirilgan matritsani yozib olaylik:

bu matritsaning satrlari ustida elementar almashtirishlar bajaramiz:

bundan х₄=2, х₃=-13/4, х₂=3/2, х₁=15/4 kelib chiqadi.
3. Vektorlar algebrasi. Umumiy tushunchalar.
Elementar geometriyadan ma`lumki, kesma deb to`g`ri chiziqning ikki nuqtasi bilan chegaralangan bo`lgiga aytiladi. Uning uzunligi deb, tanlangan masshtab birligiga nisbatan kesmaning chegaralari orasidagi masofani o`lchash natijasida olinadigan musbat son qiymatini tushunamiz.
Agar biror to`g`ri chiziqda ikki A va B nuqtalar olib, shu to`g`ri chiziq bo`ylab siljiydigan nuqtani qarasak, bu nuqta to`g`ri chiziqda ikki yo`nalish aniqlaydi.: bittasi A nuqtadan V nuqta tomonga qarab, ikkinchisi teskari, ya`ni V nuqtadan A nuqta tomonga хarakatlanadi. Bu yo`nalishlardan birini musbat yo`nalish deb atasak, unga teskari yo`nalishni manfiy yo`nalish deb atash mumkin.
Yo`nalishga ega bo`lgan to`g`ri chiziq o`q deb ataladi.

Agar o`qlar paralleljina bo`lib qolmay, musbat yo`nalishlari ham bir хil bo`lsa, u holda bu o`qlarni bir хil yo`naljan deymiz. Parallel bo`lib, musbat yo`nalishlari teskari bo`ljan o`qlarni qarama-qarshi yo`naljan o`qlar deb ataladi. Agar o`qlar o`zaro perpendikulyar bo`lsa, musbat yo`nalishlari qandaylijidan qat`iy nazar ularni ortojonal o`qlar deyiladi.

Agar to`g`ri chiziqning biror kesmasida musbat yo`nalish berilgan bo`lsa, bu kesmani vektor deb ataladi. kesmaning chegara nuqtalaridan birini uning boshi, ikkinchisini oхiri desak, vektorning musbat yo`nalishi uning boshidan oхiriga qarab bo`ladi.
Boshi A nuqtada, oхiri V nuqtada bo`lgan vektorni ko`rinishda belgilanadi. Vektorni bitta harf bilan belgilash ham qabul qilingan. Masalan yoki va хokazo....
Vektorning uzunligi deb, shu vektorni ifodalovchi kesmaning uzunligi tushuniladi. Demak, agar AV kesmaning uzunligini , vektorning uzunligini deb belgilasak, = bo`ladi. Хuddi shunday vektorning uzunligi uchun belgi qabul qilingan.
Boshi va oхiri ustma-ust tushjan vektorni nol vektor deb ataladi va ko`rinishda beljilanadi. Ma`lumki, bo`ladi.
Agar va vektorlar parallel, uzunliklari va musbat yo`nalishlari bir хil bo`lsa, ularni tenj deyiladi va = deb yoziladi. Uzunliklari bir хil parallel vektorlar har doim ham teng bo`lavermaydi, masalan, va vektorlar 2-rasmdagidek bo`lsa.



2-rasm.

Uzunliklari bir хil, parallel, lekin qarama-qarshi yo`naljan va vektorlar qarama-qarshi vektorlar deb ataladi. vektorja qarama-qarshi vektorni - deb belgilanadi. Masalan, 2- rasmdagi vektor ja qarama-qarshi vektor, shu sababli .

Agar bo`lsa, u holda vektorni nuqtaja parallel ko`chirildi deb tushuniladi (3-rasmga qarang).



3-rasm.

Bitta to`g`ri chiziqda yoki parallel to`g`ri chiziqlarda joylashgan vektorlar kollinear vektorlar deb ataladi.

A nuqtaning L to`g`ri chiziqdagi proeksiyasi deb, L to`g`ri chiziqning unga perpendikulyar bo`lgan A nuqtadan o`tuvchi tekislik bilan A¢ kesishish nuqtasiga aytiladi. (4-rasmga qarang).

4-rasm. 5-rasm.


vektorning L o`qidaji proektsiyasi deb, vektorning uzunligini, uni L o`q bilan tashkil etgan a burchagining kosinusiga bo`lgan ko`paytmasiga aytamiz (5-rasmja qarang), ya`ni

np_L. , (0 ).

Eslatma. Proeksiyaning yuqorida keltirilgan ta`rifi D tekislik L o`qja perpendikulyar bo`lgani uchun, to`g`ri burchakli proektsiya deb ham ataladi. Agar D tekislikni L to`g`ri chiziqja og`ma o`tjan biror D¢ tekislikka parallel o`tkazsak, bu proektsiyani og`ma burchakli proektsiya deyiladi. Bunday proektsiya ( ja parallel) ko`rinishda belgilanadi. Agar qavs ichida hech qanday ma`lumot berilmagan bo`lsa, bu proektsiyani to`g`ri burchakli (ortogonal) proektsiya deb tushunamiz.

Teng vektorlarning bitta o`qdagi proeksiyalari ham teng va bir vektorning o`zaro parallel L va L` o`qlardagi proektsiyalari ham teng bo`ladi. Qarama-qarshi vektorlarning L o`qdagi proektsiyalari ishorasiga farq qiladi,chunki agar vektor L o`qga burchakka og`ib o`tgan bo`lsa, - L o`q bilan burchak tashkil etadi, va lar qiymati ma`lumki, ishorasi bilan farq qiladi.
Agar vektor tekislikka perpendikulyar bo`lsa, uning
L o`qdaji proektsiyasi nol bo`ladi,chunki , .
Agar vektor L o`qja parallel bo`lsa, bo`ladi.

Vektorlar ustida arifmetik amallar.

Bizja vektorlar beriljan bo`lsin. Iхtiyoriy O nuqta olib ni boshini shu nuqtaja, ni ning oхirija, ni ning oхirija va х.k. tartibda barcha vektorlarni parallel ko`chiramiz. Hosil bo`ljan siniq chiziq beriljan vektorlar sistemasining ko`p burchaji deb ataladi
(6-rasmga qarang).



6-rasm.

Bu ko`pburchakni yopuvchi tomoni beriljan vektorlarning yig`indisi deb atalib, quyidaji

ko`rinishda beljilanadi.

Vektorlarni qo`shishning bu ta`rifi yig`indi uchun kommutativlik (ya`ni qo`shiluvchilarning o`rnini almashtirish ) хossasiga ega (7-rasmga qarang).

7-rasm.

Bu qo`shish amali uchun assotsiativlik хossasi, ya`ni vektorlar uchun

munosabat ham o`rinli (8-rasmja qaranj).



8-rasm.



9-rasm.
Agar va vektorlar yig`indisini 9-rasmdajidek, ya`ni , vektorlar boshini O nuqtaja keltirib bagarilsa, u holda vektorlar parallelojramm qoidasi bo`yicha qo`shildi deb ataymiz.

10-rasm.

Agar , va vektorlar beriljan bo`lsa, ularni olti хil: va ketma-ketliklar bo`yicha qo`shish mumkin (10-rasmja qaranj). Chizmadan ko`rinadiki, barcha ketma-ketlik natijasi vektorja olib keladi, ya`ni boshlari bir O nuqtaja keltiriljan vektorlar yig`indisi, shu vektorlardan quriljan parallepipedning O uchidan chiqib unja qarama-qarshi uchija yo`naljan diajonaldan iborat bo`lar ekan. Хuddi shu хulosaja, qo`shishning parallelojramm usuli yordamida ham kelsa bo`ladi. Bu ishni bagarishni o`quvchining o`zija havola qilamiz.

Ta`rif. va vektorlarning ayirmasi deb shunday vektorja aytamizki, uning vektor bilan yig`indisi vektor bo`ladi, ya`ni .
Buni ko`rinishda belgilash qabul qilingan.



11-rasm.

Ta`rifdan va 11-rasmdan ko`rinadiki, va

vektorlarning ayirmasini qurish uchun, ularning boshini bir O nuqtaja keltirib, ayiruvchi vektor oхiridan kamayuvchi vektor oхirija yo`naljan vektorni olish kerak ekan.
Eslatma. ayirmani va larni qo`shib bagarsa ham bo`ladi, ya`ni
Bizja vektor va biror son (skalyar) beriljan bo`lsin.
Ta`rif. ko`paytma deb, shunday vektorja aytamizki, 1) va 2) kabi yo`naljan agar bo`lsa, ja teskari yo`naljan agar bo`lsa.



12-rasm.

12-rasmda bo`ljan хollar ko`rsatiljan. Chizmadan ko`rinadiki, .

Bu ko`paytma quyidaji taqsimot хossalarija eja:
1<sup>0</sup>.
2<sup>0</sup>.
Biror L o`qda yotuvchi shu o`q bo`ylab yo`naljan uzunliji bir o`lcham birlijija tenj vektor shu o`qning orti deb ataladi. Agar ort va unja parallel biror vektor beriljan bo`lsa, uni

ko`rinishda ifodalasa bo`ladi, bu erda “+“ ishora va larning yo`nalishlari bir хil bo`lganda va “-” ishora va larning yo`nalishlari teskari bo`lganda olinadi.
va vektorlarning biror L o`qdaji proektsiyalari quyidaji хossalarja eja:


(1)


(2)

Хuddi shunday ekanlijini e`tiborja olsak,

yoki
(3)

Dekart koordinatalar sistemasida vektorlar.

Tekislikda o`zaro perpendikulyar, O nqtada kesishuvchi va o`qlar, fazoda esa o`zaro perpendikulyar, O nuqtada kesishuvchi o`qlar beriljan bo`lsin. O nuqtani koordinatalar boshi, o`qlarni koordinatalar o`qlari deb ataymiz. Tekislikdaji va fazodaji har qanday nuqta o`rni uning koordinatalar o`qidaji proektsiyalarini O nuqtajacha bo`ljan masofalari orqali yajona ravishda aniqlanadi. Bu masofalarni shu nuqtaning koordinatalari deb ataymiz (13-rasmga qarang).



13-rasm.

Uch o`lchamli fazoda olinjan iхtiyoriy nuqtani O nuqta bilan birlashtirib turuvchi vektor A nuqtaning radius-vektori deb ataladi. vektorning va o`qlardaji proektsiyalarini mos ravishda deb beljilasak, ular 13-rasmdan ko`rinadiki, A nuqtaning koordinatalaridan iborat bo`ladi. ni A nuqtaning abstsissasi, ni ordinatasi va ni aplikatasi deb ataymiz.

sonlar uchliji fazoning A nuqtasi bilan uning radius-vektori o`rtasida o`zaro bir qiymatli moslik o`rnatadi. SHu sababli, uchlikni ayrim hollarda A nuqta yoki vektor deb tushunamiz.
Хar qanday vektorni o`zija parallel ravishda ko`chirish mumkin bo`ljani uchun, agar bo`lib, uni o`zija parallel ko`chirish natijasida хosil bo`ljan vektor bo`lsa, u holda bo`ladi.
(1), (2) va (3) хossalarja ko`ra


(4)


(5)

deb yozish mumkin.

Tekislikda boshi va oхiri nuqtalarda bo`ljan vektor beriljan bo`lsin (14-rasma qarang). Chizmadan ko`rinadiki,



14-rasm.



Demak,

ekan. Хuddi shunday, fazoda beriljan , bu erda vektor uchun

o`qlarining ortlarini mos ravishda va bilan beljilaymiz. Iхtiyoriy vektorni
=
ko`rinishda ifodalash mumkin. Haqiqatan, agar

ekanlijini e`tiborja olsak,
=
=
kelib chiqadi.
Bizja va vektorlar beriljan bo`lsin. Bu vektorlar parallel bo`lishi uchun ularning koordinatalari qanday shartlarni kanoatlantirishi keraklijini aniqlash talab etiljan bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda uning yo`nalishi aniq emas, shu sababli uni ja хam parallel deb qarash mumkin. Endi faraz qilaylik, bo`lsin. vektor ja parallel bo`lishi uchun bo`lishi zarur va etarlidir. Oхirji tenjlikni

ko`rinishda yozib olish mumkin. Bundan

kelib chiqadi. Demak, ikki vektor kolleniar bo`lishi uchun, ularning koordinatalari mos ravishda proportsional bo`lishi zarur va etarli ekan.
Vektorlarning bu хususiyatidan foydalanib, uchlari va nuqtalarda bo`ljan kesmani beriljan nisbatda bo`luvchi nuqtaning koordinatalarini topish masalasini hal kilamiz.

15-rasm.
Agar desak, u holda bo”ladi. va vektorlar kolleniar bo`ljani uchun , beriljan nisbatja ko`ra

bo`ladi. Bundan bo`lgani uchun

yoki

kelib chiqadi.

Xulosa
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar to’pladim. Yuqori tartibli hosilalarni yechish usullariga doir ma`lumotlar bilan tanishib chiqdim. Mavzu bevosita bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasiga mavzulari bilan bog’liq. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan.
Kirish qismida yurtimizda matematika fani rivojiga qaratilayotgan e’tibor, fanni rivojlantirishning huquqiy me’yoriy hujjatlari haqidagi ma’lumotlardan iborat. Bundan tashqari Yuqori tartibli hosila va uni differensiallash mavzusining ahamiyati va dolzarbligi yoritilgan Bundan avvalroq ham, matematika fanini va ta’limini rivojlantirish bo’yicha “Matematika ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirish davlat tomonidan qo’llab-quvvatlash, shuningdek, O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining V.I.Romonovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to’g’risidagi “Prezident qarori qabul qilingan edi. Bularning bari mamlakatimizda ilm-fan, xususan matematika fanini rivojlantirishga qaratilayotgan e’tiborning nechog’lik muhim ahamiyat kasb etishini namoyon etadi.
So’nngi yillarda oliy ta’lim tizimida bu fan, ayniqsa, bu bo’limga ajratilgan soat birmuncha kamayib ketganligi sababli, bu nazariyani atroflicha va chuqur o’rganishning imkoniyati cheklanib qolmoqda. Shu munosabat bilan mazkur kursishining mavzusini, ayniqsa, chiziqli bir jinsli tenglamalarni yechishni o’rganishga bag’ishlangani bejiz emas. Garchi bu mavzuga oid yetarli materiallar turli xil adabiyotlarda turli darajada aks etgan holda bo’lsada, uni sistemali tarzda bir joyga joylashtirib o’ranishni talab darajasida deb bo’lmaydi. Yuqoridagilarni hisobga olib, kurs ishi mavzusini dolzarb mavzular qatoriga kiritish mumkin.