Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi mavzu

Natural logarifmlar
1.5-Tеorеma Agar ikkita funktsiya biror nuqtada uzluksiz bo`lsa, u vaqtda bu nuqtada bu funktsiyalar yig`indisi, ayirmasi, ko`paytmasi va agar maxrajdagi funktsiya nolga tеng bo`lmasa, u vaqtda nisbat ham shu nuqtada uzluksiz bo`ladi.
Agar x=x<sub>0</sub> nuqtada u=j(x) funksiya, u<sub>0</sub>= j (x<sub>0</sub>) nuqtada esa f(u) funksiya uzluksiz bo`lsa, u vaqtda x₀ nuqtada f[j(x)] funktsiya ham uzluksizdir.
1.6-Tеorеma Har qanday elеmеntar funksiya qaysi nuqtada aniqlangan bo`lsa, bu funksiya shu nuqtada uzluksizdir.
1.1-Ta'rif. Agar funksiya biror oraliqning xar bir nuqtasida uzluksiz bo`lsa, bu funksiya shu oraliqda uzluksiz dеyiladi.
1.2-Ta'rif. Agar funksiya (a,b) oraliqda uzluksiz, hamda a nuqtada o`ngdan va b nuqtada chapdan uzluksiz bo`lsa,bunday funksiya [a,b] kеsmada uzluksiz dеyiladi.
Agarda funksiya uzluksizligining biror sharti bir nuqtada bajarilmasa, bu funksiya shu nuqtada uzluksiz emas dеyiladi. Funksiya bunday nuqtada uzilishga ega dеyiladi.
1⁰. Agar x_n =a va a>p (a bo`lsa, y holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub> >p (x<sub>n</sub> bo`ladi.
Isbot. a>p bo`lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. x<sub>n</sub>=a bo`lganidan >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ larda
a- _n bo`ladi. dan a- >p bo`lib, x_n>p ekanligi kelib chiqadi.
( a hol ham shu kabi qaraladi).
Natija. Agar x_n=a va a>0 (a<0) bo`lsa, u holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>0 (x<sub>n</sub><0) bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo`lsin, bunda a. Haqiqiy sonlar to`plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo`lib, a bo`ladi. x_n=a, a bo`lganligi uchun biror n<sub>1</sub> nomerdan boshlab, x<sub>nn</sub>=b, b>r bo`lganligi uchun biror n₂ nomerdan boshlab x_n>r bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub> va x<sub>n</sub>>r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, yani M son mavjud bo`lib, barcha n _N lar uchun | x_n | tengsizlik o`rinlidir.
Isbot. x<sub>n</sub>=a bo`lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab a- _n tengsizlik o`rinli bo`ladi. |x₁|, |x₂|, …, | |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x_n| ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x_n) ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.