Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi

I BOB

1. 
   Ko’phad uchun Teylor formulasi .
   

Ushbu
(1)
Bunda o’zgarmas haqiqiy sonlar n ko’phadni qaraylik bu ko’phadni ketma-ket differensiallab topamiz
(2)
Bunda (1) va (2) tengliklarda deb olinsa una berilgan ko’phad va uning xossalari ninig nuqtasidagi qiymatlari topiladi
(3)
Ulardan
(4)
Kelib chiqadi.
Shunday qilib ko’phadning koeffitsientlari ko’phad va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalanadi koeffitsientlarining bu qiymatlarini (1) ga qo’ysak unda
(5)
Bo’ladi .
Bu ko’phad (1) ko’phaddan koeffitsientlarining yozilishi bilan farq qiladi.
(5) Formula Teylor formulasi deb ataladi .

2. 
   Ixtiyoriy funksiya uchun Teylor formulasi
   

funksiya (a,b) intervalda aniqlangan bo’lib , u
Hosilalarga ega bo’lsin funksiyaning nuqtadagi hosilalaridan foydalanib quydagi

ko’phad tuzaylik .
Agar qaralayotgan funksiya darajali ko’phad bo’lsa , unda yuqorida aytilganga ko’ra

yani

bo’ladi .
Agar funksiya ko’phad bo’lmasa ravshanki ,

bo’lib ular orasida farq yuzaga keladi . Biz uni orqali belgilaylik :

Natijada ushbu

yani

formulaga kelamiz . Bu formula funksiya uchun Teylor formulasi deb ataladi . esa Teylor formulasining qoldiq hadi deyiladi .
f(x) funksiyani birorta darajali qatorning yig`indisi ko`rinishida ifodalashga berilgan funksiyani qatorga yoyish deb ataladi.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya biror (-R; R) oraliqda darajali qatorga yoyilgan bo`lsin:
f(x)=a<sub>0</sub>+a<sub>1</sub>(x-x<sub>0</sub>)+a<sub>2</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>2</sup>+…+a<sub>n</sub>(x-x<sub>0</sub>)<sup>n</sup>+… (1)
qatorning koeffitsientlari va x<sub>0</sub> nuqtadagi hosilalarini f(x) funksiyaning qiymatlari orqali ifodalaymiz. U holda, qatorning birinchi hadi
f(x<sub>0</sub>) =x<sub>0</sub> (2)
dan iborat bo`ladi.
f(x) funksiya x₀ nuqtada aniqlangan va shu nuqtada istalgan tartibli hosilaga ega ekanligini e`tiborga olib, ni topamiz:
f`(x)=a₁+2a₂(x-x₀)+3a₃(x-x₀)²+…+na_n(x-x­₀)^n-1+… (3)
Bundan, x = x₀ bo`lgan holda
f`(x₀)=a₁ (4)
ekanligi ko`rinadi. (3) ning ikkala tomonini differensiallab, quyidagini hosil qilamiz:
(5)