Matematika yo‘nalishi “Ko‘phadni maydon ustida keltirilmaydigan normallangan ko‘phadlar ko‘paytmasiga yoyish” mavzusidagi kurs ishi

2§ Ko‘phadning ildizi.

^(^o) = 0 bo‘lsa K halqaning xo elementi /(л) e

ko‘phadning ildizi deyiladi.

Teorema 2 dan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. (Bezu teoremasi).

ko‘phad K halqada x- gabo‘linadi, faqat vafaqat shuholdaki, x0-

[л] x0

uning ildizi bo‘lsa.

Isboti:

f ko‘phad x- gabo‘linishi uchun (13) tenglikdagi c=0 Ravshanki (л) л0

bo‘lishi kerak.

c= ^(x0) edi.

c= 0

shart x0- ^( ko‘phadning ildizi degan shart bilan teng kuchli.

■10,16 ga teng. Hisoblashlarni Gorner sxemasi yordamida bajaramiz.

	1	-3	6	-10	16
4	1	41-3q1	41-6q10	410-10q30	4-60+16q136

Demak to‘liqsiz bo‘linma

g(X) = X' +x +10x+ 30

Misol 2:

Kompleks koeffitsientli

qoldiq esa

136

ko‘phadning

hisoblaymiz.

/(л) = X + 2yx - (1+ y)x - 3x+ 7 + i

nuqtadagi qiymatini gorner sxemasi yordamida bo‘ladi.

Teoremani ko‘phadning darajasi bo‘yicha induksiya yordamida isbotlaymiz. Nolinchi darajali ko‘phad umuman ildizga ega emas, shuning

uchun bu holda teorema o‘rinli. Faraz qilaylik, teorema barcha ^-1 darajali

" n- daraiali f ko‘phad uchun ko‘phadlar uchun o‘rinli bo‘lsin va undan (у)

teorema o‘rinli ekanini keltirib chiqaramiz.

Teskarisidan faraz qilamiz, ya'ni lar ко phadning ildizi

(y)

П-1 bo‘lsin.

bo lib, n

f ko‘phad у-

Bezu teoremasiga ko‘ra (л)

ga bo‘linadi, ya'ni

/(л) = (л- x^g bo‘ladi, bu yerda (n 1) darajali qandaydir ko‘phad K

elementlari g(X) ko‘phadning ildizi bo‘ladi. O‘z navbatida

halqaning

/= bo‘lganda fxi = (x^ -x^)g^^-'i = ga ega bo‘lamiz. x - ^ 0 . K halqa esa nolning bo ‘luvchilariga,

edi. Uholda =0 bo‘ladi, 1,2,...,n+l da

xi, X2,...,

nuqtalar ^(x) ko‘phadning ildizlari bo‘ladi. Yuqorida

yani x;,-

= 0 bo‘ladi, bundan ^(x) = kelib chiqadi.

isbotlangan teoremaga ko‘ra

K halqaning 2 ta

Teorema 4. Agar Kcheksiz halqa bo‘lsa, u holda

ko‘phadi orqali aniqlangan funksiyalarning tengligi shu ko‘phadlarning tengligi bilan ifodalanadi.

f ,g(x) e ko‘phadlar bir xil funksiyalarni ifodalasin.

Isboti: (x) ’

A[jx

Bundan ko‘rinadiki

X0 e K uchun ^(x) = g(X0)

f ,g(x) ko‘phadlardagi eng yuqori darajasini n bilan belgilaymiz. K

(x)

halqa cheksiz bo‘lgani uchun unda mavjudbo‘ladi.

n+1 ta har xil elementlar x\,xi,...x+

Farazimizgako‘r^ ^ va g(^) ko Phadlar

(x)

xT,x2

,...x,+

nuqta larning har

birida (va umuman " nuqtada) bir xil qiymatlar qabul qiladi.

/(x) = xulosa kelib chiqadi.

Teorema 3 ning natijasiga ko‘ra

K halqadagi " ^(x) ko‘phad K da aniqlangan va K dagi

Agar qiymatlami qabul qiluvchi funksiyani aniqlasa, teorema4 ko‘phadlar uchun va

fuknsiyalar uchun aniqlangan amallarni mos keltiradi. Agar K halqa cheksiz K dagi har bir ko‘phadga u orqali aniqlanuvchi funksiyani mos

bo‘lsa [,j]

K va K da aniqlangan holda K dagi qiymatlami qo‘yuvchi akslantirish [^]

qabul qiluvchi qandaydir funksiyalar halqasida izormorfizm bo‘ladi.

elementi uchun = 0 tenglik bajarilsa, u holda

Agar ^halqaning

У(л) e

x° element ^[^]

ko‘phadning ildizi deb atalar edi. Berilgan

/(Л)

= algebrik tenglamani yechish masalasi

ko‘phadning ildizini topish yoki 0

matematikaning turli bo ‘ limlarida asosiy o ‘ rin tutadi. Ayniqsa, K- haqiqiy sonlar yoki kompleks sonlar maydoni bo ‘ lganda bu masala yana ham chuqurlashadi.

Algebraik tenglamalarni yechish usullarini, jumladan ko‘phadlar algebrasi hamda guruppalar nazariyasi bo‘limlarida ham ko‘rib chiqilgan. Quyidagi sabablarga ko‘ra maydon ustidagi ko‘phadlarni qaraymiz: Koeffitsiyentlar halqasi maydon bo‘lgan hol yanada muhimroq. Maydon ustidagi ko‘phadlar halqasining xossalari birmuncha sodda. K butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasi P nisbatlar maydoni halqaning ustidagi ko‘phadlar halqasi uchun qism halqa bo‘ladi.

ko‘pgina xossalari halqaning xossalaridan kelib chiqib isbotlanadi. Quyida

"P maydon ustidagi ko‘phadlarning ildizlari haqidagi umumiy teoremalarni isbotlaymiz. f(X) - koeffitsiyentlari pmaydondan olingan ko‘phad bo‘lib xo- uning f ko‘phad x- gabo‘linadi. f^^) ildizi bo‘lsin. Bezu teoremasiga ko‘ra x-x- xgabalki (x- x)

ko‘phad nafaqat vaxatto ning yuqoriroq darajasiga

ham bo‘linishi mumkin.

Hisoblash natijalari ko‘rsatishicha f ko‘phad (x-2) gabo‘linadi,

(л)

(x-2У ga bo‘linmaydi, (qoldiq 7 ga teng bo‘ladi) demak xo- 2 ildizning

ammo

f ko‘phad uchun 3 ga teng ekan. karralisi berilgan (л)

f ko‘phadning (л- ga bo‘linishi ma'lum bo‘lsa, ya'ni

Agar (л) /(л) = (x- Ло)

g(^) bolsava f ning (x-x>) ^^^ga bo‘linishini aniqlash talab

bunda (X)

g(X) ko‘phadning x- ga bo‘linish- bo‘linmasligini aniqlash qilinsa, u holda ло

g(X) x- gabo‘linmaydi faqat va

kerak bo‘ladi. Bezu teoremasiga
3-§ Keltirilmaydigan ko‘phadlar.

Keltirilmaydigan ko ‘ phadlar arifmetikasidagi tub sonlar vazifasini bajaradi. " 1- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir 2 ta musbat darajali ko ‘ phadning darajasi ham doim >2 bu uning chiziqli ko ‘ paytuvchilarga yoyilmasi, xususan, keltirilmaydigan ko‘phadlarga yoyilmasidan iborat bo‘ladi. Bezu teoremasiga ko‘ra 0 ildizga ega bo‘lgan ko‘phad x- Л0 ga halqada +1 ko‘phad va umuman haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan Q[ x halqada esa masalan,

2- darajali ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir.

X3 -2 ko‘phad keltirilmaydigan ko‘phaddir, chunki uning yagona haqiqiy ildizi

irritsional sondir. Shunday qilib, halqada faqat 1- darajali va haqiqiy ildizga ega bo‘lmagan 2- darajali ko‘phadlar keltirilmaydigandir halqada esa " darajali

keltirilmaydigan ko‘phad mavjud.

Tub sonlar cheksizligining isboti kabi " P maydon ustidagi normallashgan keltirilmaydigan ko ‘ phadlar to ‘ plamining cheksizligini ham isbotlash mumkin. Faraz qilaylik,bunday ko‘phadlar soni chekli bo‘lsin va ular •••P7bo‘lsin ^^lp2 •••p+i ko‘phadni qaraymiz. " musbat darajali ko‘phad

qaysidir keltirilmaydigan ko‘phadga bo‘linishi kerak lekin ^ko‘phad

PKPi.P.

ko ‘ phadlarning hech biriga bo ‘ linmaydi.Demak f ko ‘ phad ham keltirilmaydigan ko ‘ phad ekan. Olingan qarama-qarshilik keltirilmaydigan ko ‘phadlar to‘plamining chekliligini inkor qiladi.