Matеmatikadan

Parabola cho'qqisining koordinatalari

Ko'pincha funktsiya argumenti bilan almashtiriladi kvadrat trinomial y = ax 2 + bx + c ko'rinishidagi. Uning grafigi standart parabola bo'lib, bizni qiziqtiradi:

1. 
   Parabola shoxlari - yuqoriga (a> 0 uchun) yoki pastga (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
   
2. 
   Parabola cho'qqisi kvadratik funktsiyaning ekstremum nuqtasi bo'lib, bu funktsiya o'zining eng kichik (a> 0 uchun) yoki eng kattasini (a) oladi.< 0) значение.
   

Eng katta qiziqish aynan parabolaning tepasi, uning abtsissasi quyidagi formula bilan hisoblanadi:
Shunday qilib, biz kvadrat funktsiyaning ekstremum nuqtasini topdik. Ammo agar asl funktsiya monotonik bo'lsa, u uchun x 0 nuqtasi ham ekstremum nuqta bo'ladi. Shunday qilib, biz asosiy qoidani shakllantiramiz:
Kvadrat uch a’zoning ekstremum nuqtalari va u kiruvchi kompleks funksiya mos tushadi. Shunday qilib, kvadrat trinomial uchun x 0 ni qidirishingiz va funktsiyani baholashingiz mumkin.
Yuqoridagi mulohazalardan biz qaysi nuqtani olishimiz noma'lum bo'lib qolmoqda: maksimal yoki minimal. Biroq, vazifalar muhim emasligi uchun maxsus ishlab chiqilgan. O'zingiz uchun hukm qiling:

1. 
   Muammo bayonotida hech qanday segment yo'q. Shuning uchun f (a) va f (b) ni hisoblashning hojati yo'q. Faqat ekstremal nuqtalarni hisobga olish qoladi;
   
2. 
   Ammo bunday nuqta bor - bu x 0 parabolaning cho'qqisi, uning koordinatalari tom ma'noda og'zaki va hech qanday hosilalarsiz hisoblanadi.
   

Shunday qilib, muammoni hal qilish juda soddalashtirilgan va faqat ikki bosqichga tushadi:

1. 
   y = ax 2 + bx + c parabolaning tenglamasini yozing va uning tepasini quyidagi formula bo'yicha toping: x 0 = −b / 2a;
   
2. 
   Bu nuqtadagi asl funksiyaning qiymatini toping: f (x 0). Agar yo'q bo'lsa qo'shimcha shartlar yo'q, bu javob bo'ladi.
   

Bir qarashda, bu algoritm va uning mantiqiy asoslari qo'rqinchli ko'rinishi mumkin. Men ataylab "yalang'och" yechim sxemasini tuzmayman, chunki bunday qoidalarni o'ylamasdan qo'llash xatolarga olib kelishi mumkin.
dan haqiqiy vazifalarni ko'rib chiqing sinov imtihoni matematikada - bu usul eng ko'p uchraydi. Shu bilan birga, biz B15 ning ko'plab muammolari deyarli og'zaki bo'lishiga ishonch hosil qilamiz.
Ildiz ostida kvadratik funktsiya y = x 2 + 6x + 13. Bu funktsiyaning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir, chunki koeffitsient a = 1> 0.
Parabolaning tepasi:
x 0 = −b / (2a) = −6 / (2 1) = −6/2 = −3
Parabola shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligi sababli, x 0 = -3 nuqtada y = x 2 + 6x + 13 funksiya eng kichik qiymatni oladi.
Ildiz monoton ravishda ortadi, shuning uchun x 0 butun funktsiyaning minimal nuqtasidir. Bizda ... bor:
Vazifa. Funktsiyaning eng kichik qiymatini toping:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logarifm ostida yana kvadrat funktsiya mavjud: y = x 2 + 2x + 9. Grafik shoxlari yuqoriga ko'tarilgan paraboladir, chunki a = 1> 0.
Parabolaning tepasi:
x 0 = −b / (2a) = −2 / (2 1) = −2/2 = −1
Demak, x 0 = −1 nuqtada kvadratik funksiya eng kichik qiymatni oladi. Ammo y = log 2 x funktsiyasi monotonik, shuning uchun:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Ko'rsatkich y = 1 - 4x - x 2 kvadrat funktsiyani o'z ichiga oladi. Keling, uni qayta yozamiz normal shakl: y = −x 2 - 4x + 1.
Shubhasiz, bu funktsiyaning grafigi parabola bo'lib, pastga shoxlanadi (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b / (2a) = - (- 4) / (2 (−1)) = 4 / (- 2) = −2
Asl funktsiya eksponensial, u monotonik, shuning uchun eng katta qiymat topilgan nuqtada bo'ladi x 0 = -2:
Ehtiyotkor o'quvchi, ehtimol, biz ildiz va logarifmning ruxsat etilgan qiymatlari diapazonini yozmaganimizni sezadi. Ammo bu talab qilinmadi: ichkarida qiymatlari har doim ijobiy bo'lgan funktsiyalar mavjud.