Matеmatikadan

1.Segmentdagi funksiyaning eng kichik va eng katta qiymatlari. Segmentdagi funksiyaning eng katta va eng kichik qiymati

Segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatini topish jarayoni vertolyotdagi ob'ektning (funktsiya grafigi) qiziqarli parvoziga o'xshaydi, uzoq masofali to'pdan ma'lum nuqtalarda o'q uzadi va bu nuqtalardan boshqarish uchun juda maxsus nuqtalarni tanlaydi. zarbalar. Ballar ma'lum bir tarzda va shunga ko'ra tanlanadi muayyan qoidalar... Qoidalar qanday? Bu haqda keyinroq gaplashamiz.
Agar funktsiya y = f(x) segmentida uzluksiz [ a, b], keyin u ushbu segmentga etib boradi eng kichigi va eng yuqori qiymatlar ... Bu ham sodir bo'lishi mumkin ekstremal nuqtalar, yoki segmentning oxirida. Shuning uchun, topish uchun eng kichigi va maksimal funktsiya qiymatlari segmentda uzluksiz [ a, b], siz uning barcha qiymatlarini hisoblashingiz kerak tanqidiy nuqtalar va segmentning uchlarida, so'ngra ulardan eng kichikini va eng kattasini tanlang.
Masalan, funktsiyaning eng katta qiymatini aniqlash talab qilinsin f(x) segmentida [ a, b]. Buning uchun siz uning hammasini topishingiz kerak tanqidiy nuqtalar yotgan [ a, b] .
Kritik nuqta nuqta deb ataladi funksiya aniqlangan, va u hosila nolga teng yoki mavjud emas. Keyin kritik nuqtalarda funktsiyaning qiymatlarini hisoblashingiz kerak. Va nihoyat, kritik nuqtalarda va segmentning oxirida funksiya qiymatlarini solishtirish kerak ( f(a) va f(b)). Bu raqamlarning eng kattasi bo'ladi segmentdagi funksiyaning eng katta qiymati [a, b] .
Topish muammolari eng kichik funktsiya qiymatlari .

Funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini birgalikda qidirish

Misol 1. Eng kichigini toping va eng yuqori qiymat funktsiyalari 
segmentida [-1, 2] .
Yechim. Bu funksiyaning hosilasini toping. Keling, hosilani nolga () tenglashtiramiz va ikkita kritik nuqtani olamiz: va. Berilgan segmentdagi funktsiyaning eng kichik va eng katta qiymatlarini topish uchun uning segment oxiridagi va nuqtadagi qiymatlarini hisoblash kifoya, chunki nuqta segmentga tegishli emas [-1, 2]. Ushbu funktsiya qiymatlari quyidagicha:,,. Bundan kelib chiqadi eng kichik funktsiya qiymati(quyidagi grafikda u qizil rang bilan belgilangan), -7 ga teng, segmentning o'ng uchida - nuqtada va eng buyuk(shuningdek, grafikda qizil), 9 ga teng, - tanqidiy nuqtada.

Agar funktsiya qaysidir oraliqda uzluksiz bo'lsa va bu oraliq segment bo'lmasa (lekin, masalan, interval bo'lsa; oraliq va segment o'rtasidagi farq: intervalning chegara nuqtalari intervalga kiritilmaydi va chegara segmentning nuqtalari segmentga kiritilgan), keyin funktsiya qiymatlari orasida u eng kichik va eng katta bo'lmasligi mumkin. Masalan, quyidagi rasmda ko'rsatilgan funksiya] -∞, + ∞ [da uzluksiz va eng katta qiymatga ega emas.

Biroq, har qanday interval (yopiq, ochiq yoki cheksiz) uchun uzluksiz funktsiyalarning quyidagi xossasi to'g'ri bo'ladi.