Matеmatikadan

Asosiy ta'riflar

Keling, har doimgidek, asosiy ta'riflarni shakllantirishdan boshlaylik.
Ta'rif 1
y = f (x) funktsiyaning qaysidir x oralig'idagi eng katta qiymati maxy = f (x 0) x ∈ X qiymati bo'lib, xx ∈ X, x ≠ x 0 har qanday qiymat uchun f (x) ≤ tengsizlikni hosil qiladi. f (x 0).
Ta'rif 2
y = f (x) funktsiyaning qaysidir x oralig'idagi eng kichik qiymati minx ∈ X y = f (x 0) qiymati bo'lib, har qanday x ∈ X, x ≠ x 0 qiymati uchun f (X f ( X f) tengsizlikni hosil qiladi. x) ≥ f (x 0).
Bu ta'riflar juda aniq. Buni aytish yanada osonroq: funktsiyaning eng katta qiymati uning juda ko'pligidir katta ahamiyatga ega abscissa x 0 da ma'lum oraliqda, eng kichigi esa x 0 da bir xil intervalda qabul qilingan eng kichik qiymatdir.
Ta'rif 3
Statsionar nuqtalar - bu funktsiya argumentining hosilasi yo'qolgan qiymatlari.
Nima uchun biz statsionar nuqtalar nima ekanligini bilishimiz kerak? Bu savolga javob berish uchun Ferma teoremasini esga olish kerak. Bundan kelib chiqadiki, statsionar nuqta - bu differentsiallanuvchi funktsiyaning ekstremumi joylashgan nuqta (ya'ni, uning mahalliy minimal yoki maksimal). Shunday qilib, funktsiya eng kichik yoki eng katta qiymatni ma'lum bir oraliqda aniq statsionar nuqtalardan birida oladi.
Boshqa funktsiya eng katta yoki eng kichik qiymatni funktsiyaning o'zi aniq bo'lgan va uning birinchi hosilasi mavjud bo'lmagan nuqtalarda qabul qilishi mumkin.
Ushbu mavzuni o'rganishda paydo bo'ladigan birinchi savol: barcha holatlarda berilgan segmentdagi funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini aniqlay olamizmi? Yo'q, agar berilgan oraliq chegaralari ta'rif sohasi chegaralariga to'g'ri kelganda yoki cheksiz interval bilan ishlayotgan bo'lsak, buni qila olmaymiz. Bundan tashqari, berilgan segmentdagi yoki cheksizlikdagi funksiya cheksiz kichik yoki cheksiz katta qiymatlarni oladi. Bunday hollarda, eng yuqori va / yoki eng past qiymatni aniqlash mumkin emas.
Ushbu fikrlar grafiklarda ko'rsatilgandan keyin aniqroq bo'ladi:
Birinchi rasm bizga segmentda joylashgan statsionar nuqtalarda eng katta va eng kichik qiymatlarni (m a x y va m i n y) qabul qiluvchi funktsiyani ko'rsatadi [- 6; 6].
Keling, ikkinchi grafikda ko'rsatilgan ishni batafsil ko'rib chiqaylik. Segmentning qiymatini [1 ga o'zgartiramiz; 6] va biz funktsiyaning eng katta qiymatiga oraliqning o'ng chegarasida abtsissa joylashgan nuqtada, eng kichigi esa statsionar nuqtada erishilishiga erishamiz.
Uchinchi rasmda nuqtalarning abstsissalari segmentning chegara nuqtalarini ifodalaydi [- 3; 2]. Ular berilgan funktsiyaning eng yuqori va eng past qiymatlariga mos keladi.

Endi to'rtinchi raqamga qaraylik. Unda funksiya ochiq intervalda (- 6; 6) statsionar nuqtalarda m a x y (eng katta qiymat) va m i n y (eng kichik qiymat) ni oladi.
Intervalni olsak [1; 6), u holda biz undagi funksiyaning eng kichik qiymati statsionar nuqtada erishiladi, deb aytishimiz mumkin. Eng katta qiymat bizga noma'lum bo'ladi. Funktsiya o'zining eng katta qiymatini x 6 ga teng bo'lganda qabul qilishi mumkin, agar x = 6 intervalga tegishli bo'lsa. Aynan shu holat 5-chizmada tasvirlangan.
6-grafada bu funksiya oraliqning o'ng chegarasida (- 3; 2] eng kichik qiymatga ega bo'ladi va biz eng katta qiymat haqida aniq xulosalar chiqara olmaymiz.

7-rasmda funksiya abtsissasi 1 ga teng statsionar nuqtada m a x y bo‘lishini ko‘ramiz. Funktsiya o'zining eng kichik qiymatiga interval chegarasida erishadi o'ng tomon... Minus cheksizlikda funktsiya qiymatlari asimptotik tarzda y = 3 ga yaqinlashadi.
Agar x ∈ 2 intervalini olsak; + ∞, u holda berilgan funksiya undagi eng kichik va eng katta qiymatni ham olmasligini ko‘ramiz. Agar x 2 ga moyil bo'lsa, u holda funktsiyaning qiymatlari minus cheksizlikka moyil bo'ladi, chunki x = 2 to'g'ri chiziq vertikal asimptotadir. Agar abscissa plyus cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda funktsiyaning qiymatlari asimptotik ravishda y = 3 ga yaqinlashadi. Aynan shu holat 8-rasmda tasvirlangan.
Ushbu kichik bo'limda biz ma'lum bir segmentdagi funktsiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish uchun bajarilishi kerak bo'lgan harakatlar ketma-ketligini taqdim etamiz.

1. 
   Birinchidan, funksiyaning sohasini topamiz. Shartda ko'rsatilgan segment unga kiritilgan yoki yo'qligini tekshirib ko'raylik.
   
2. 
   Keling, birinchi hosila mavjud bo'lmagan ushbu segmentdagi nuqtalarni hisoblaylik. Ko'pincha ularni argumenti modul belgisi ostida yoki ichida yozilgan funktsiyalarda topish mumkin quvvat funktsiyalari, ko'rsatkichi kasrli ratsional son.
   
3. 
   Keyinchalik, berilgan segmentga qaysi statsionar nuqtalar tushishini aniqlaymiz. Buning uchun funktsiyaning hosilasini hisoblashingiz kerak, keyin uni 0 ga tenglashtiring va hosil bo'lgan tenglamani yeching, so'ngra tegishli ildizlarni tanlang. Agar biz statsionar nuqtalarni olmasak yoki ular berilgan segmentga tushmasa, keyingi bosqichga o'tamiz.
   
4. 
   Funktsiya berilgan statsionar nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa) yoki birinchi hosila mavjud bo'lmagan nuqtalarda (agar mavjud bo'lsa) qanday qiymatlarni olishini aniqlaymiz yoki x = a va x = qiymatlarini hisoblaymiz. b.
   
5. 
   5. Bizda funktsiya qiymatlari qatori bor, endi ulardan eng kattasini va eng kichigini tanlashimiz kerak. Bu biz topishimiz kerak bo'lgan funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari bo'ladi.
   

Keling, muammolarni hal qilishda ushbu algoritmni qanday to'g'ri qo'llashni ko'rib chiqaylik.
1-misol