Materik fazoda yaqinlashish to`la metrik fazolar

4. Vektorning normasi
R³ fazoda vektorning moduli (uzunligi) tushunchasini Rⁿ fazodagi vektorlar uchun umumlashtiramiz.
1-ta’rif. Rⁿ vektor fazodagi a= (a₁, a₂. . . a_n) vektorning uzunligi yoki normasi deb, bilan belgilanuvchi ushbu songa aytiladi:
=
Vektorning normasi quyidagi xossalarga ega:
1⁰. Ixtiyoriy a vektor uchun >0 va a=0 bo’lganda, =0 bo’ladi va aksincha.
2⁰. uchun
3⁰. .
Xususiy holda, R³ fazoda a=(a_1, a_2, a₃) vektor uchun son uning uzunligini ifodalaydi. Bunda 1) va agar a=0 bo’lsa; 2) uchun = ;
3) xossalar o’rinli. 3) xossa uchburchak tengsizligi deb ataladi (uchburchak ikki tomonining yig’indisi uchinchi tomondan kichik emas). Bunda, tenglik belgisi uchburchak uchlaridagi nuqtalar bir to’g’ri chiziq ustida yotgandagina o’rinli bo’ladi (isbotlang).
Shuni ta’kidlab o’tamizki, R¹ fazoda norma haqiqiy sonning modulini angladi.
Normaning 1⁰ va 2⁰ xossalari bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Biz faqat 3⁰ xossaning isbotini keltiramiz.
3⁰ xossani isbotlash uchun avvalo, Koshi tengsizligi deb ataluvchi
(1)
tengsizlikni isbotlaymiz.
Koshi tengsizligining isboti quyidagi sodda tasdiqqa asoslanadi: Agar koeffisiyentlari haqiqiy sonlardan iborat bo’lgan Ax +Bx+С uchhad uchun manfiy bo’lmasa, u holda uning diskriminanti musbat emas, ya’ni B²-AC 0 bo’ladi. Kvadrat uch hadga kelishi mumkin bo’lgan yordamchi funksiyani quyidagicha olamiz.

Bu yerda , , uch had tuzilishiga ko’ra, manfiy emas: u holda yuqoridagi tasdiqqa ko’ra,
.
Bu esa (1) tengsizlikning boshqacharoq ko’rinishidir.
Endi, Koshi tengsizligidan uchburchak tengsizligini keltirib chiqaramiz. Norma ta’rifiga ko’ra, uchburchak tengsizligi quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(2)

Bu tengsizlik ham Koshi tengsizligi deyiladi. Shu tengsizlikni isbotlasak, 3⁰ xossa isbotlangan bo’ladi.

1. 
   Tengsizlikning har ikkala tomonidan kvadrat ildiz chiqaramiz:
   

Bu tengsizlikning har ikkala tomonini 2 ga ko’paytiramiz va

ifodani qo’shamiz. U holda,

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu tengsizlikni esa quyidagicha yozish mumkin:

yoki
.
Buning har ikkala tomonidan kvadrat ildiz chiqarsak, isbot talab etilgan tengsizlik kelib chiqadi.
Vektorning normasi quyidagi sodda xossasiga ega: agar a 0 bo’lsa vektorning normasi 1 ga teng.
2-ta’rif. Vektorning normasi

formula yordamida kiritilgan Rⁿ vektor fazo n-o’lchamli evklid fazosi deb ataladi.