Matnli masalalarni geometrik usulda yechish

2.3. Irratsionallikni o’z ichiga olgan masalalarning geometrik echimlari
Irratsional sonlar mavjudligi faktining kashf etilishi qadimgi yunon matematikasining asoslarini larzaga keltirdi. (Afsonaga ko’ra, Gippas o’zining isboti uchun pifagorchilar tomonidan maktabdan haydalgan – ular beqiyos miqdorlar mavjudligiga ishonishni xohlamagan.)
Masala 15. -sonning irratsionalligini isbotlang
Yechim:
Geometrik jihatdan irratsionall degani kvadratning diagonali bilan yon tomonlari yoki teng yonli to’g’ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi: u erda ham, bu erda ham butun songa to’g’ri keladigan kesma yo’qligi. (9-rasm.) Buni quyidagicha tekshirish mumkin: biz kichikroq kesmani kattaroq qismga ajratamiz, qolgan qismini kichikroq qismga, ikkinchi qoldiqni birinchisiga qo’yamiz va hokazo. Agar biron bir bosqichda kesma qoldiqsiz qo’yilsa, demak, bu ikkita boshlang’ich kesmaning umumiy o’lchovidir (Evklid algoritmi). Keling, gipotenuzada katetga teng kesmani qo’yamiz. Buning uchun burchagi bissektrisasi bilan uchburchak hosil qilamiz.
image
qoldiq paydo bo’ldi. Keyin ushbu" qoldiq"ni katetga qo’yishimiz kerak, ammo u allaqachon "qo’yilgan" ( kesma) ekanligini ko’rish qiyin emas. Yangi qoldiqlar uchburchagiga kiradi - yana teng yonli va to’g’ri burchakli! Jarayonni davom ettirib, biz yangi uchburchak bilan katta uchburchakdagi kabi bir xil amalni bajaramiz, natijada undan ham kichikroq uchburchak paydo bo’ladi va hokazo. Kesmaning cheksiz qisqarishi bilan cheksiz jarayonni olamiz. Shunday qilib, katet va gipotenuza irratsional.
Geometrik isbot noyobdir- u faqat uchun ishlaydi, lekin bu hisoblash unga yaqinlashish algoritmini beradi.
Masala 16. Ifodaning eng kichik qiymatini toping

Yechim: sonni koordinata tekisligida va nuqtalar orasidagi masofa deb hisoblash mumkin. Xuddi shunday, son va nuqtalar orasidagi masofa son ham va nuqtalar orasidagi masofa.
Shunday qilib, (1) ifoda ko’rinishni oladi, bu ABCD singan chiziqning uzunligi. Agar u to’g’ri bo’lsagina, siniq chiziq uzunligining eng kichik qiymatiga erishadi.
image
nuqtasi tegishli bo’lganligi sababli va to’g’ri chiziq, nuqtasi chorakka tegishli bo’lishi va koordinatalarga ega bo’lishi kerak. Xuddi shunday, nuqtasi ga tegishli bo’lganligi sababli, nuqtasi IV chorakka tegishli bo’lishi va koordinatalarga ega bo’lishi kerak.
U holda
to’g’ri chiziq tenglamasini anizqlaymiz:

va
Bundan
Javob: 13; bu qiymatga nuqtada erishadi.