Matnli masalalarni geometrik usulda yechish

Masala 9.
tengligini isbotlang. Yechim:
Biz foydalanadigan asosiy ayniyatlar:

va ularning hususiy hollari ( bo’lganda).
Joyni tejash uchun ni orqali belgilaymiz ( "bu" - grek alifbosining ettinchi harfi). Quyidagilardan foydalanish bizga qulay bo’ladi, va h. – biz ushbu belgilashlarni alohida qayd etamiz. Asosiy bu burchaklarning xossalari:
yoki unga ekvivalent,
Bu erda tenglikning geometrik isboti (2). nuqtadan chiqadigan vektorlarni ko’rib chiqamiz (19-rasm.). Ushbu etti vektorning yig’indisi 0 ga teng bo’lgani uchun (axir, markaz atrofida burchakka burilganda, u o’zgarishi mumkin emas!), ularning o’qidagi proektsiyalari yig’indisi ham 0 ga teng.
image
19-rasm.
(boshqa isbot (2) yoki (2’) ni ikkala qismni ga ko’paytirish va (1) ko’paytmani yig’indiga aylantirish orqali olish mumkin.) Shunday qilib, keyingi tenglikni isbotlashimiz kerak
ikkala qismini ga ko’paytirib, chap tomonni quyidagicha o’zgartiramiz:
Bu sonning kvadrati (musbat!) isbotlash kerak . Va haqiqatan ham,
Isbot tugadi.
Masala 10. uchun ekanligini isbotlang.
Yechim:
va uchburchaklardan (20-rasm.) sinuslar teoremasiga ko’ra:

image
20-rasm.
Doira radiusini 1 ga teng deb hisoblab, biz yozishimiz mumkin . Shuning uchun . Tenglik qaraymiz: ni orqali, ni orqali belgilaymiz.
Isbot tugadi.
Masala 11. Tenglamani yeching:

Yechim: Vektorlarni kiritamiz $\vv{a}(sinx;1)$ va $\vv{b}(\sqrt{p-cos^2x};\sqrt{p+cos^2x}).$ Keyin
$|\vv{a}|=\sqrt{sin^2x+1}$
$|\vv{b}|=\sqrt{2p}$
$\vv{a}\cdot\vv{b}=sinx\sqrt{p-cos^2x}+\sqrt{p+cos^2x}$
Bundan kelib chiqadiki, $|\vv{a}|\cdot|\vv{b}|=\vv{a}\cdot\vv{b}$, ya’ni vektorlar kollineardir. Shunday qilib, quyidagi shart bajariladi:

Agar bo’lsa, unda



Agar bo’lsa, unda






Masala 12. Tenglamani yeching:

Yechim: Vektorlarni kiritamiz $\vv{a}(1;1)$ va $\vv{b}(\sqrt{p^2cos^2x+1};\sqrt{p^2cos^2x+3}).$ Keyin
$|\vv{a}|=\sqrt{2}$
$|\vv{b}|=\sqrt{p^2+4}$
$\vv{a}\cdot\vv{b}=\sqrt{p^2cos^2x+1}+\sqrt{p^2cos^2x+3}$
Bundan kelib chiqadiki, $|\vv{a}|\cdot|\vv{b}|=\vv{a}\cdot\vv{b}$, ya’ni vektorlar kollineardir. Shunday qilib, quyidagi shart bajariladi:


Agar bo’lsa, unda


Masla 13. Hisoblang:
Yechim: Barcha teskari trigonometrik qiymatlar musbat sonlarning funktsiyalari-bu 1 chorakda yotadigan burchaklar, ya’ni o’tkir burchaklar. Shuning uchun ularni to’g’ri burchakli uchburchakda topish mumkin.
bu uchburchakdagi burchak, uning tangensi ga teng, ya’ni qarama-qarshi katetning yopishgan katetga nisbati 2:3 ga teng. Pifagor teoremasi bo’yicha gipotenuzani topamiz:
image
Endi arctangenusning har qanday triganometrik funksiyasining qiymatini topish mumkin.
Javob: 6.
Masala 14. Hisoblaymiz:
Yechim:
image
va
Javob: