Матрицалар ва улар устида амаллар Матрицалар устида амаллар

Матрицалар ва улар  устида амаллар 

 

1. Матрицалар устида амаллар. Матрицаларни қўшиш, сонга кўпайтириш 

ва бир-бирига кўпайтириш мумкин. 

Бир  хил  ўлчамли 

)

(

ij

a

A



ва 

)

(

ij

b

B



)

1

,

1

(

n

j

m

i





  матрицаларнинг 

йиғиндиси  деб,  элементлари 

ij

ij

ij

b

a

c





  равишда  аниқланадиган  учинчи  

)

(

ij

c

C



  матрицага    айтилади.  Равшанки, 

C

  матрицанинг  ўлчами  олдинги  

матрицаларнинг ўлчами билан бир хил бўлади. Масалан: 

                 

















































4

0

5

2

4

2

3

1

0

5

4

0

1

1

3

0

2

1

B

ва

A

       

матрицалар йиғиндиси 

 

                         

C

B

A





































































9

4

5

1

5

1

3

3

1

4

5

0

4

5

0

2

1

4

1

2

3

3

0

1

2

0

1

 

 

бўлади.  Матрицаларни  қўшиш  амали  қуйидаги  ўрин  алмаштириш  ва 

гуруҳлаш хоссаларига эга, яъни  

                         

                    

).

(

)

(

,

C

B

A

C

B

A

A

B

B

A

















 

 

Матрицаларни  қўшишда  бирор  матрицага

O

  матрицани  қўшиш  одатдаги 

сонларни қўшишдаги  нўл сони ролини ўйнайди, яъни  

                                             

.

A

O

A





 

масалан, 

                           

































































33

32

31

23

22

21

13

12

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

0

0

0

0

0

0

0

0

0

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

. 

А

  матрицани 



  сонга  кўпайтириш  деб  унинг  ҳамма  элементларини  шу 

сонга кўпайтиришга айтилади, яъни  

             













































33

32

31

23

22

21

13

12

11

33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A























 

масалан,  

                                   























6

2

5

1

3

4

0

2

3

A

 

матрицани 

3





 га кўпайтирсак,     

                                  















































12

6

15

3

9

12

0

6

9

6

2

5

1

3

4

0

2

3

3

A



  

бўлади. 

k

m



  ўлчамли

)

(

ij

a

A



матрицанинг 

n

k



  ўлчамли 

)

(

ij

b

B



  матрицага, 

кўпайтмаси деб 

n

m



 ўлчамли шундай 

)

(

ij

c

C



матрицага айтиладики унинг 

ij

c

элементи 

A

  матрица   

i

-сатри  элементларини 

B

  матрица 

j

-устунининг 

мос элементларига кўпайтмалари йиғиндисига тенг, яъни: 

kj

ik

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

c











2

2

1

1

 

Матрицалар  кўпайтмаси 

AB

C



  билан  белгиланади.  Демак,  матрицаларни 

кўпайтириш  учун  биринчи  кўпайтувчининг  устунлари  сони,  2- 

кўпайтувчининг сатрлари сонига тенг бўлиши талаб қилинади. Шу сабабли, 

умуман 

BA

AB



. 

1-мисол. 

























1

3

5

2

0

1

3

4

3

2

0

1

A

  ва 



























0

6

4

5

2

0

7

2

B

  матрицалар  берилган. 

A

  ва 

B

 

матрицаларни кўпайтиринг. 

Ечиш.  Биринчи  матрицанинг  устунлар  сони,  иккинчи  матрицанинг  сатрлар 

сонига тенг, шунинг учун бу матрицаларни кўпайтириш мумкин: 

.

36

25

26

13

15

30

0

1

4

3

2

5

7

2

6

1

5

3

0

5

2

2

0

0

4

1

2

)

3

(

7

4

6

0

5

1

0

)

3

(

2

4

0

3

4

2

2

0

7

1

6

3

5

2

0

0

2

1

0

6

4

5

2

0

7

2

1

3

5

2

0

1

3

4

3

2

0

1

























































































































































































AB

 

Матрицаларни кўпайтириш ушбу 

                       

   

C

AB

BC

A







 

гуруҳлаш ҳамда   

                   





BC

AC

C

B

A









  

тақсимот 

хоссасига 

эга. 

Масалан,        



























































3

0

2

1

,

3

1

4

3

2

0

,

4

6

5

4

3

2

C

B

A

 

бўлсин. Бу ҳолда  

       

 

 

 

 

 

   

   

.

110

14

14

13

11

1

6

3

6

0

4

6

5

4

3

2

3

3

2

1

0

3

1

1

3

4

2

3

0

4

1

3

3

2

2

0

0

2

1

0

4

6

5

4

3

2

3

0

2

1

3

1

4

3

2

0

4

6

5

4

3

2















































































































































































































































BC

A

 

Энди  

 

C

AB



 кўпайтиришни бажарамиз: 

      

 

 

 

 

 



















































































































































































110

14

14

13

3

46

2

14

0

46

1

14

3

4

2

13

0

4

1

13

3

0

2

1

46

14

4

13

3

0

2

1

3

1

4

3

2

0

4

6

5

4

3

2

C

AB

 

Шундай қилиб  

 

                  

   

C

AB

BC

A







  

 

хосса ўринли бўлади. Энди тақсимот хоссасини қараймиз: 

         









































































2

1

4

0

3

2

,

0

2

3

2

2

1

,

1

2

0

3

4

1

C

B

A

 

 

бўлсин. Олдин тақсимот хоссасининг чап томонини 

        





C

B

A





 

ҳисоблаймиз: 

   





.

7

5

34

5

2

1

4

0

3

2

1

0

3

5

6

0

2

1

4

0

3

2

0

2

3

2

2

1

1

2

0

3

4

1

















































































































































C

B

A

 

Ўнг томони 

         

.

7

5

34

5

17

6

15

4

10

1

19

1

2

1

4

0

3

2

0

2

3

2

2

1

2

1

4

0

3

2

1

2

0

3

4

1





















































































































































BC

AC

 

бўлади. 

Шундай қилиб  

 





BC

AC

C

B

A









 

тенглик ўринли бўлади. 

 

Исталган  квадрат  матрица 

A

  ни  мос  бирлик 

E

  матрицага 

кўпайтирганда  

                   

A

EA

AE





 

тенглик ўринли бўлади, масалан 

            

 

 

 



















































































































































































































2

0

3

3

2

1

0

1

2

1

2

0

0

0

3

0

2

1

0

0

3

2

0

0

0

1

3

1

3

0

2

0

1

0

3

1

2

0

1

0

3

0

2

1

1

1

0

0

1

0

2

0

0

1

1

0

2

0

0

0

1

1

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2

0

3

3

2

1

0

1

2

A

 

Худди шунга ўхшаш 

A

EA



 тенгликни ҳам текшириб кўриш мумкин  (буни 

бажаришни ўқувчига ҳавола қиламиз).