Матрицанинг рангини унинг минорларидан фойдаланиб хисоблаш

a) cатрларининг уринларини алмаштириш;
б) ихтиёрий сатрини холдан фаркли k cонига купайтириш;
c) бирор сатрини ихтиёрий сонга купайтириб иккинчи бир сатрига кушиш.
Матрицаларни купайтириш коидасига асосан A’’ В матрица A’ В матрицадан мос элементар алмаштириш натижасида хосил булади.
a) бажарилган булса,  A’’ к - A’ ва
 A’’ В  к - A’B ; (4)
б) бажарилган булса,
 A’’ к k   A’ ,  A’’ В  кk  A’ B  ; (5)
в) бажарилган булса, у холда
 A’’ к  A’ ,  A’’ В  к  A’-B  (6)
(4) , (5) ва (6) дан (2) га асосан (3) келиб чикади. Хакикатан хам ,

(4) ва (2) дан  A’’ В  к - A’ B  к - A’   В  к  A’’   В  ;

(5) ва (2) дан эса  A’’ В  к k  A’ B  к k  A’   В  к  A’’   В  ;
(4) ва (2) дан  A’’ В  к  A’-B  к  A’   В  к  A’   В  .
Шу билан лемма тула исбот булди.
Агар A матрица a), б), с) элементар алмаштиришлар ёрдамида E бирлик матрицадан хосил килинган булса, леммага асосан  E В  к
 E    В  дан  A В  к  A    В  келиб чикади. Бунда  A   0, яъни A- хосмас матрица.
 A  к 0 булса, у холда AB матрицанинг сатрлари хам чизикли богланган булади, яъни  A В  к 0 ва  A В  к  A    В  тенглик бажарилади.
3. Детерминантларни хисоблаш.
1- мисол. Ушбу D к
детерминантда x катнашган хаднинг коэффициентини хисобланг:
Детерминантни охирги устун элементлари буйича ёйсак факат 1-сатр , 4- устунини учирганда x катнашади. Шунинг учун хам x катнашган хаднинг коэффициенти куйидагига тенг булади:

2 - мисол . Ушбу Вандермонд детерминантининг кийматини хисобланг: . Бунинг учун V_n нинг хар бир устунини (-a₁) купайтириб узидан олдингисига кушамиз. У холда


3-мисол. Ушбу детерминантни учбурчак куринишга келтириб хисобланг:

Охирги устунини (-1) га купайтириб барча устунларига кушиб чикамиз:

Энди барча сатрларини охирги сатрига кушамиз:

4- мисол.Берилган D детерминантни чизикли купайтувчиларини ажратиш усули билан хисобланг:

D нинг ёйилмаси n-даражали купхад булиб у xкx₁, x₂ , . . . , x_n да нолга айланади. Шунинг учун хам
Dк c (x - x₁) (x - x₂) ... (x - x_n) (2)
деб олсак булади. Энди номаълум коэффициент с ни аниклаймиз. (1) нинг бошхади x^n-1, демак ск1.
Шундай килиб
D к ( x - x₁ ) ( x - x₂ ) ... ( x - x_n ).
5-мисол . ( Рекурент формулалардан фойдаланиш).

ни хисобланг.
D_n+! ни охирги сатр элементлари буйича ёйамиз:
Бу ерд
Шунинг учун хам